Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 222. 
Höhe und die dritte Seite zur Grund 
linie hat.“ 
S c h o I i o n. Bezeichnet man mit a, b, c 
die Seiten eines Dreiecks mit, q den Ra 
dius des innerlich eingeschriebenen Kreises, 
mit q t , p a , g s die Radien derjenigen 
äusserlich eingeschriebenen Kreise, welche 
bezüglich die Seiten a, b, c selbst und 
die Verlängerungen der andern Seiten 
berühren, mit F den Flächeninhalt des 
Dreiecks, so ist: 
F=(a + 4 + c)|- f F = (b + c-a) | l -, 
F=(« + c-Ä)^, F = (a + b~c)~. 
Setzt man noch wie in einer früher ent 
wickelten Formel: 
ci -j— h -J- c 
so ergibt sich: 
F = SQ = (s-a)Q l = {s-b) Q3 = (s-c)p s , 
Es war aber nach einem früheren Satze: 
F = Ys{s — a) (s~ b) (s — c). 
Multiplicirt man nun die vier eben gefundenen Werthe von F mit einander und 
nimmt man auf die letzte Formel Rücksicht, so hat man: 
F l =s(s — a) (S — b) (.s — c)QQ l Q i Q i =:F t QQ l Q i Q i , 
d - h - : F * = 
dies gibt folgenden Satz: jv. 223. 
Lehrsatz 11. „Das Product der Ra 
dien der vier einem Dreiecke eingeschrie 
benen Kreise ist gleich dem Quadrate 
seines Flächeninhaltes.“ 
9) Von den regelmäs s igen Viel- 
ecken. 
I. Lehrsätze und Definition. 
Lehrsatz 1. „Umjedes regelmässige 
Vieleck und in dasselbe lässt sich immer 
je ein Kreis beschreiben. Diese beiden 
Kreise haben gemeinschaftlichen Mittel 
punkt.“ 
Beweis. Sei ABCDE (Fig.223) das 
regelmässige Vieleck. Halbirt man zwei 
Winkel A und B desselben durch die 
Linien AO, BO und zieht von O aus 
Linien nach den andern Eckpunkten, so 
entstehen congruente und gleichschenk 
lige Dreiecke. Es ist nämlich Winkel 
A = B, also auch Winkel 
OAB = OBA = OAE 
als die Hälften dieser Winkel, also auch 
OA = OB, ferner AE = AB, als Seiten 
des Vielecks, woraus dann die Congruenz 
der Dreiecke OAB und OEA folgt; ebenso 
wird die der andern Dreiecke bewiesen, 
und man hat (M= Oß— OC~ OD- OE. 
Also ein von O als Mittelpunkt mit 
Halbmesser OA gezogener Kreis geht 
durch alle Eckpunkte ABCDE und ist 
somit dem Vielecke umschrieben. Die 
Halbmesser OA, OB u. s. w. halbiren 
übrigens alle Winkel des Vielecks. Zieht 
man nun von O aus nach den Mitten der 
Seiten die Linien Oa, Oß, Oy, 0<f, Os, 
so sind dies die Mittellinien dieser Seiten 
und stehen also auf denselben senkrecht. 
Diese Linien sind aber auch einander 
gleich, da wie augenblicklich zu sehen 
alle Dreiecke OA«, OAß, OBß u. s. w. 
congruent sind. Alle Seiten sind also