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Raumlehre. 
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Raumlehre. 
met man mit a, l, c 
icks mit, q den ßa- 
schriebenen Kreises, 
Radien derjenigen 
enen Kreise, welche 
a, b, c selbst und 
der andern Seiten 
Flächeninhalt des 
? = (« + »-c)Sl. 
n einer früher ent- 
' mit einander und 
jgener Kreis geht 
i ABCDE und ist 
umschrieben. Die 
1 u. s. w. halbiren 
ies Vielecks. Zieht 
ach den Mitten der 
, Oß, Oy, OJ, Os, 
llinien dieser Seiten 
enselben senkrecht, 
her auch einander 
ablicklich zu sehen 
lAß, OBß u. s. w. 
i Seiten sind also 
Tangenten eines Kreises, dessen RadiusOa 
ist, womit unser Satz bewiesen ist. 
Definitionen. Der Halbmesser des 
umschriebenen Kreises OA wird auch 
grosser Radius des Vielecks, der Halb 
messer des eingeschriebenen Kreises O« 
kleiner Radius desselben genannt. 
Das Dreieck AÖB, welches zu Seiten 
beide Radien und die halbe Vielecksseite 
hat, nennen wir Bestimmungsdr eieck, 
den Winkel AOB, welchen zwei grosse 
Radien, die nach auf einander folgenden 
Ecken gerichtet sind, mit einander ma 
chen, Centri winkel, den Winkel zweier 
auf einander folgenden Seiten Polygon- 
winkel des Vielecks. 
S c h o 1 i o n. Ist n die Seitenanzahl 
des Vielecks, so ist die aller Centri- 
winkel ebenfalls n aber ihre Summe 
gleich 4 Rechte, so dass die Grösse jedes 
4 R 
einzelnen ist. — Da ferner das Be 
il 
Stimmungsdreieck einen rechten Winkel» 
2 R 
den halben Centriwinkel = und den 
n 
halben Polygonwinkel zu Winkeln hat, 
so werden die beiden letztgenannten zu 
sammen einen Rechten betragen, und 
die Grösse des halben Polygonwinkels 
ist: R = R, also des ganzen: 
2/i-4 
R = 2R 
4R 
n 
Beispiele. Fürs Viereck ist die 
4R 
Grösse des Centriwinkels —— = R, des 
4 
8 — 4 
Polygonwinkels: —— n ~ R. 
Fürs Fünfeck 
4 
der Centriwinkel 
g 
— r R, der Peripheriewinkel R. 
Fürs Sechseck: der Centriwinkel 
2 4 
= — R der Peripheriewinkel Rechte, 
o o 
Theilt man den rechten Winkel in 
90 Grade, so erhält man folgende Tafel: 
Seitenanzahl. , Centriwinkel. 
Polygonwinkel, 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 
17 
18 
19 
20 
120° 
90» 
72» 
60» 
51» 
25' 43" 
45» 
40» 
36» 
32» 
43' 38" 
30» 
27» 
41' 32" 
25» 
42' 51" 
24» 
22» 
30' 
21» 
10' 35" 
20» 
18» 
56' 50" 
18» 
60» 
90» 
108° 
120» 
128» 
135» 
140» 
144» 
34' 
17" 
147» 
150» 
16' 
22" 
152» 
18' 
28" 
154» 
156» 
17' 
9" 
157» 
30' 
158» 
160» 
49' 
25" 
161» 
162» 
3' 
10" 
Das Vcrhältniss der Seiten eines re 
gelmässigen Vielecks ist, wenn a die 
Grösse der Seite ist, — = 1. Die Seiten 
a 
jeder 2 regelmässigen Vielecke stehen 
also in gleichem Verhältnisse. Ist bei 
beiden die Seitenanzahl dieselbe, so sind 
auch die Winkel gleich. D. h.: 
Lehrsatz 2. „Regelmässige Viel 
ecke von gleicher Seitenanzahl sind ähn 
liche Figuren.“ 
Daraus folgt dann nach den bekann 
ten Eigenschaften ähnlicher Figuren: 
Zusatz. „Die Umfänge regelmässi 
ger Vielecke von gleicher Seitenanzahl 
verhalten sich wie ihre Seiten, die In 
halte wie die Quadrate der Seiten.“ 
Scholion. Bezeichnen wir noch mit 
p den kleinen Radius des Vieleckes also 
Oa (Fig. 223), mit s die Seite, mit r den 
grossen Radius OA, so ist in dem recht 
winkligen Dreiecke OAa: 
Der Flächeninhalt des Dreiecks OAB 
aber gleich und wenn n die Seiten 
zahl, F der Flächeninhalt des Vieleckes 
ist: F=m. 
3