Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Lehrsatz 3. „Jedes in oder nm 
einen Kreis beschriebene Vieleck mit 
gleichen Seiten ist ein regelmässiges.“ 
Beweis. Denke man sich die Peri 
pherie eines Kreises (Fig. 224) in gleiche 
Fig. 224. 
Theile AB, BC, CD, DE, EA gctheilt, 
und die Theilpunkte durch gerade Linien, 
die also ebenfalls'gleich sind, verbunden. 
Verbindet man noch die Ecken mit dem 
Mittelpunkte O, so entstehen congruente 
gleichschenklige Dreiecke; es ist also 
Winkel О AB = OB А = OBC u. s. w., 
also auch: OAB+OAE = OBA + OBC 
— OCB + OCD u. s. w., also alle Winkel 
gleich und das Vieleck regelmässig, wo 
mit die Existenz des eingeschriebenen 
Vielecks bewiesen ist. — Legt man nun 
durch alle Eckpunkte Tangenten, aß, 
ßy, yd, ds, ta, so ist z. B. Ea — Aa, 
Daraus folgt leicht die Congruenz der 
Dreiecke AOa, AOß, BOß, BOy n. s. w. 
wodurch sich dann die Gleichheit der 
Seiten und Winkel augenblicklich ergibt. 
— Leicht ist zu sehen, dass wenn man 
zu den Seiten die Mittellinie On gezogen 
und bis zur Peripherie nach t verlängert, 
durch die Punkte t aber Tangenten ge 
legt hätte, auch ein dem gegebenen ähn 
liches also regelmässiges, dem Kreise um 
schriebenes Vieleck entstanden wäre. 
S c h о 1 i о n. Aus Figur 224 ergibt sich 
sogleich, dass der grosse Radius des 
einem Kreise eingeschriebenen Vielecks 
gleich dem kleinen des umschriebenen 
Vielecks ist, bezeichnet man also wieder 
mit r, Q, s, F bezüglich grossen und kleinen 
Radius, Seite und Flächeninhalt des dem 
Kreise eingeschriebenen и-Ecks, mit 
r t , p lt s t , F, diese Grössen in Bezug 
auf das demselben Kreise umschriebene 
Vieleck, so ist: 
Q, ~r, 
ferner wegen der Aehnlichkeit beider 
Vielecke; 
und 
r 
oder 
r p 
r _ r 2 
—, also r. = — 
e e 
r, 
F 
oder F, 
r 2 F nsr 2 
= Г27Г* 
Diese Formeln lehren, aus den Bestim- 
mungsstücken des eingeschriebenen n-Eeks 
die des umschriebenen zu finden. 
Zieht man zu den Seiten AB, BC, CA 
(Fig. 225) eines n - Ecks die Mittellinien 
Fig. 225. 
Oa, Oc, Ob, die natürlich durch den 
Mittelpunkt O des umschriebenen Kreises 
gehen, so werden die Centriwinkel AOB, 
BOC, ('OA durch dieselben halbirt; es 
sind also die Bogen Aa, Ba, Bb, bC u. s. w. 
gleich, mithin auch die zugehörigen Seh 
nen, und die Figur AaBhCcA ist ein 
regelmässiges 2«-Eck, d. h.: 
Lehrsatz 4. „Die Mittellinien der 
Seiten eines dem Kreise O eingeschrie 
benen n - Ecks schneiden die Peripherie, 
in Punkten, welche mit den Ecken des 
n-Ecks zusammen die Eckpunkte eines 
regelmässigen 2n-Ecks bilden.“ 
Sei jetzt ABC (Fig. 22h) ein dem 
Kreise O umschriebenes Vieleck, dessen 
Seiten den Kreis in m, n, p berühren, 
zieht man die Linien OA, OB, OC, 
welche die Peripherie in a, ß, y schnei 
den und legt durch diese Punkte die 
Tangenten dl, fg, hk, so ist, wenn man 
noch mO, nO, pO dO, 10, fO, gO, 
hO, kO, zieht offenbar A dOa £ 10a 
(eine Seite Oa und die Winkel sind 
gleich), ferner A dOa ^ dOm (alle drei 
Seiten sind gleich), daraus folgt dann: 
da — cd — ln — nf., ., 
also: 
dl ~ If — fg ~ gh ~hk ..., 
d. h.;