Raumlehre. 
Raumlehre. 
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10) P, - r 
11) s .=*Vj^f 
H) 
13) *. = «-y^. 
Was die Bezeichnungen anbetrifft, so sind 
s, Sj, S, S t die Seiten, r, r t , 11, R t die 
grossen Radien, p, p t , P, P v die kleinen 
Radien, F, F l , <l>, </>, die Flächenin 
halte bezüglich des dem Kreise mit Ra 
dius r eingeschriebenen M-Ecks und 
2m-Ecks, so wie des umschriebenen 
M-Ecks und 2m-Ecks. Hierauf Bezüg 
liches enthält auch der Artikel: „Qua 
dratur ebener Figuren“ in Abschnitt 2. 
Scholion 2. Es nähert sich der 
Inhalt des dem Kreise eingeschriebenen 
regulären Vielecks um so mehr dem In 
halte des Kreises selbst, je mehr Seiten 
letzteres hat. Denn ist AR (Fig. 227) 
eine Seite des M-Ecks, so ist ABO der 
Fig. 227. 
nte Theil desselben, ACBO der nte Theil 
des Kreises selbst, und das Segment ACB 
ist die Differenz zwischen beiden. Er 
richtet man nun über AB, AC und BC, 
so wird der nte Theil eines 2n-Ecks 
abgeschnitten, und die Differenz dessel 
ben vom Mten Theile des Kreises ist gleich 
der Summe der Segmente ABC + CEB. 
Je mehr sich die Seiten des Vielecks 
dem Bogen annähern, desto geringer 
wird diese Differenz. Diese Annäherung 
geschieht aber wie leicht zu sehen in dem 
Maasse als sich OM = q der Grösse 
OA ~ r nähert. 
Nun war 
Da mit der 
Vermchrungszahl der Seiten s unter jede 
gegebene positive Zahl sinken kann, so 
nähert sich p auch der Grenze ]//■ 2 = r 
bis auf einen beliebigen Grad der Ge 
nauigkeit an, und in diesem Falle wer 
den Sehne und Bogen einen sich bis ins 
Unendliche vermindernden Raum zwischen 
sich lassen. Aber auch der Umfang 
eines regelmässigen so wie jedes anderen 
in den Kreis beschriebenen Vielecks nä 
hert sich mit wachsender Seitenanzahl 
der ganzen Peripherie, so wie ein belie 
biger Theil des ersteren dem dadurch 
abgeschnittcncn Bogen an. Denn mit 
Vermehrung der Seitcnanzhl erhält man 
AB, AC+ CB, AD + DC+ CE -f- KB 
(Fig. 227) u. s. w. Der Zahlenwerth 
dieser gebrochenen Linien wächst immer 
mehr, da immer grade Linien durch ge 
brochene ersetzt werden, da aber alle 
diese Zahlenwertbc kleiner sind als der 
des Bogens ACB, (weil die graden Li 
nien AD, DC . . . immer kleiner sind 
als die von denselben Punkten A, D, C, 
E, B begrenzten Bögen) so müssen sich 
diese gebrochenen Linien mit zuneh 
mender Seitenanzahl einer Grenze nä 
hern, die nicht grösser als der Bogen 
ACB sein kann. Sic ist aber auch nicht 
kleiner als der Bogen, da sich soviel 
Punkte von ACB als man will, schliess 
lich also jeder Punkt dieses Bogens auf 
der gebrochenen Linie befinden muss, 
dieselbe also mit dem Bogen zusammen 
fällt. — (Hierauf beruht die Ausmessung 
des Kreises, weichein dem Artikel: Qua 
dratur ebener Figuren Abschnitt 2., ge 
geben ist.) 
II. Aufgaben. 
Diese Aufgaben bezwecken eine An 
zahl regelmässiger Vielecke in einen ge 
gebenen Kreis einzuschreiben. 
Aufgabe 1. „Ein regelmässiges 
Viereck in einen gegebenen Kreis zu 
schreiben.“ 
Auflösung. Der Centriwinkel des 
Vierecks beträgt einen Rechten. Zieht 
man also zwei Durchmesser AB und CD 
(Fig. 228) auf einander senkrecht, so 
sind die Punkte A, B, C, D die Eck 
punkte des Vierecks. 
Aufgabe 2. »Ein regelmässiges 
Sechseck in einen Kreis zu beschreiben.“ 
Auflösung. Sei AB (Fig. 229) die 
Seite des Sechsecks, so ist Centriwinkel 
ACB gleich 60°, also die Winkel CAB 
und CBA zusammen gleich 
180 - 60 = 120°, 
da aber beide gleich sind, beträgt jeder 
60°. Das Dreieck ist also gleichseitig,