Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 238. 
(Offenbar nämlich sind KO und AC 
Diagonalen eines vollständigen Vierecks.) 
Aufgabe 5. „Zu den drei durch F 
gehenden Strahlen FA, FB, FC den mit 
Fß conjugirten harmonischen zu finden/ 4 
Auflösung. Lege (Fig. 238) durch 
die drei Strahlen eine beliebige Linie ABC 
und suche den mit B conjugirten harmo 
nischen Punkt Z); FD ist dann der ge 
suchte Strahl. 
Schliesslich bemerken wir noch, dass 
der Artikel: „Quadratische Gleichung“ 
ganz allgemein ein Verfahren angibt, aus 
der Gleichung, zu der eine Aufgabe 
führt, die Construction derselben abzu 
leiten, also die Auflösung durch Rech 
nung in eine durch Construction zu ver 
wandeln, wenn cTSe besagte Gleichung 
nicht höher als vom zweiten Grade ist. 
Sollte dieselbe aber von einem höheren 
Grade sein, so wäre eine Construction 
durch den Kreis und die grade Linie, 
also eine geometrische im engeren Sinne, 
überhaupt nicht möglich. 
Indem wir hiermit die Uebersicht der 
ebenen Geometrie schliessen, verweisen 
wir in Bezug auf die weitere Ausführung 
namentlich auf den Artikel: „Geometrie 
der Lage.“ 
11) lieber Linien und Ebenen. 
I. Vorbemerkungen und Defi 
nitionen. 
Definition. Eine Ebene ist eine 
solche Fläche, in der zwischen jeden zwei 
Punkten eine Grade sich ziehen lässt. 
Diese Definition ist schon gegeben. — 
Wir erinnern noch, dass man durch zwei 
Punkte unendlich viel, durch drei Punkte, 
die nicht in einer graden Linie liegen, 
immer nur eine Ebene legen kann. Eine 
solche und nur eine lässt sich mithin 
auch durch eine Grade und einen Punkt 
ausserhalb derselben legen. 
Durch zwei grade Linien lässt sich 
dagegen nicht immer eine Ebene legen. 
Findet es statt, so sind die Linien ent 
weder parallel oder sie schneiden sich. 
Lehrsatz 1. „Zwei grade Linien, 
die nicht in einer Ebene liegen, schnei 
den sich niemals.“ 
Beweis. Angenommen, dies fände 
statt, so Hesse sich durch die eine Linie 
AB (Fig. ‘239) und einen Punkt C der 
Fig. 239. 
andern jedenfalls eine Ebene legen, und 
die Punkte derselben A und C durch 
eine Grade verbinden, welche mit der 
gegebenen AC zusammenfällt, es liegen 
also AC und AB in einer Ebene. 
Anmerkung. Dagegen lässt sich 
dieser Satz nicht umkehren. D. h. zwei 
Linien, die sich nicht schneiden, können 
doch in einer Ebene liegen. Sie sind 
nämlich parallel. 
Definitionen. Zwei Ebenen, welche 
keinen Punkt gemein haben, heissen 
par allel. 
Eine Linie und eine Ebene, welche 
keinen Punkt gemein haben, heissen 
ebenfalls parallel. 
Lehrsatz 2. „Zwei Ebenen, welche 
nicht parallel sind, haben eine und nur 
eine grade Linie gemein.“ 
Beweis. Zunächst ist zu zeigen, dass 
zwei Ebenen nicht einen Punkt gemein 
haben können, und sonst ganz ausser 
einander fallen. Denn jede ins Unend 
liche verlängert gedachte Ebene theilt 
den Raum in zwei Theile. 
Eine andere Ebene, welche einen Punkt 
mit der ersteren gemein hat, geht also 
durch dieselbe durch, d. h. sie fällt zum 
Theil in die eine zum Theil in die an 
dere Hälfte des Raumes, und es wird 
also von der andern ein Theil von ihr 
abgegrenzt. Da die Grenzen von Flä 
chen aber Linien sind, so haben beide 
Ebenen eine Linie gemein. Diese muss 
eine grade sein, denn nimmt man zwei 
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