Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Punkte A und B in derselben an, so 
lässt sich durch dieselben in beiden 
Ebenen eine Grade AB ziehen, die folg 
lich die gemeinschaftliche Grenze bildet. 
Ausserdem haben die Ebenen aber 
keinen Punkt gemein. Denn wäre ihnen 
noch ein Punkt C ausserhalb AB ge 
meinsam, so Hesse sich durch ABC nur 
eine Ebene ziehen, und die beiden ge 
gebenen fielen also zusammen. 
Definitionen. Die Linien, welche 
zwei Ebenen gemein ist, heisst ihre 
Schnittlinie. Von den Ebenen sagt 
man, dass sie sich schneiden. 
II. Lehrsätze. 
Lehrsatz 3. „Werden zwei parallele 
Ebenen von einer dritten geschnitten, so 
sind die beiden Schnittlinien parallel.“ 
Beweis. Zunächst liegen sie in einer 
Ebene, nämlich der Schnittebene. Dann 
aber schneiden sie sich nicht, weil sonst 
die Schnittpunkte den beiden parallelen 
Ebenen angehören müssten, was doch un 
möglich ist, 
Lehrsatz 4. „Parallele Linien zwi 
schen parallelen Ebenen sind gleich.“ 
B eweis. Zieht man zwischen den 
parallelen Ebenen AB und CD (Fig. 240) 
Fig. 240. 
die parallelen Linien FF und GH, ver 
bindet man ferner E mit //, G mit F, 
so liegen EH und FG in einer Ebene, 
nämlich in der der parallelen Linien, 
ferner können sich EH und FG nicht 
schneiden*, weil ihr Schnittpunkt den 
Ebenen AB und CD gemein sein müsste; 
es sind also auch EH und FG parallel, 
EFGH also ein Parallelogramm, woraus 
dann die Gleichheit von EF und GH 
folgt. 
Lehrsatz 5. „Wenn eine Linie eine 
Ebene schneidet, so schneidet auch jede 
der erstem parallele Linie die letztere.“ 
Beweis. Denn legt man durch beide 
parallele Linien eine Ebene, so schneidet 
diese die gegebene Ebene AB (Fig. 241) 
Fig. 241. 
in einer Linie CE, in welcher sich der 
Schnittpunkt C derjenigen von beiden 
Linien DC befindet, welche durch Ebene 
AB geht. ('E aber liegt in der Ebene 
beider parallelen Linien, und schneidet 
CD folglich auch EF, so dass sich 
Schnittpunkt E auch in Ebene AB be 
findet. 
Lehrsatz 6. „Wenn zwei Linien 
von drei parallelen Ebenen geschnitten 
werden, so stehen die abgeschnittenen 
vier Stücke in Proportion.“ 
Beweis. Dieser Satz ist fast selbst 
verständlich, wenn die beiden Linien in 
einer Ebene liegen, da dann die Durch 
schnitte dieser Ebene mit den drei Pa 
rallelen auch parallele Linien sind. 
Mögen aber die Linien AB und CD 
(Fig. 242) nicht in einer Ebene liegen. 
Sind EL, GM und KF die parallelen 
Ebenen, wovon die erste die Linie AB 
in E und die letzte die Linie CD in F 
schneidet, so ziehe man FF; es wird 
dann die zweite Ebene GM die Ebene 
AEF in GH, und die dritte Ebene KF 
in KF die Ebene AEF schneiden, wäh 
rend die erste Ebene EL die Ebene EFD 
in EL und die zweite Ebene GM die 
Ebene EFG in HM schneidet, da nun 
Linie BH parallel KF, HM parallel EL, 
so hat man 
A EGH x EKF, 
A EFL er HFM, 
also: 
EG :GK = EH : HF 
und 
EH: HF = LM: MF, 
woraus dann folgt: 
EG _ LM 
GK^MF’ 
womit unser Satz bewiesen ist.