lehre. 
Raumlehre. 
179 
Raumlehre. 
? vom Mittelpunkt, 
— OC J , also AC 2 
grosser OC wird, 
ch mit AC statt, 
lesen ist. 
n. 
bene durch denMit- 
heisst grösster 
Da man durch 
Ebene legen kann, 
b jede zwei Punkte 
össter Kreis legen, 
ner möglich sein, 
unkte nicht End- 
ssers sind. — Fin- 
att, so liegen sie 
in einer Graden, 
ndlich viel grösste 
sich aber jede zwei 
Endpunkten eines 
ihre Ebenen gehen 
kt, ihre Schnittlinie 
Letztere gehende 
urchmesscr. Zwei 
derselben Kugel 
in je zwei Haib 
und ACB, AEB 
17. 
isten Halbkreisen, 
n haben, begrenzte 
BD heisst sphä- 
•isches Zweieck ein 
'D gelegt, so wer- 
tn Allgemeinen in 
1 schneiden. Der 
n Bogen AC, CD, 
ir Hugeloberfläche 
heisst sphärisches Dreieck, die 
Bogen selbst Seiten des Dreiecks. 
Eine beliebige Anzahl von grössten 
Kreisen, von denen nicht drei durch den 
selben Punkt der Kugelfläche gehen, 
schneiden auf der Kugel ein sphäri- 
schesVieleck (Dreieck, Viereck, Fünf 
eck u. s. w.) ab, und die das Vieleck 
begrenzenden Bogen werden ebenfalls 
Seiten desselben genannt. Auch spricht 
man von den Winkeln eines sphärischen 
Dreiecks, und versteht darunter diejeni 
gen Winkel, welchen die Tangenten CA 
tmd AU, die an je zwei auf einander 
folgenden Seiten (Fig. 268) in deren 
Schnittpunkt gelegt werden, mit einander 
machen. 
Fig. 268. 
IV. Lehrsätze und Scholion. 
Lehrsatz 3. „Wenn man durch eine 
körperliche Ecke eine Kugelfläche legt, 
deren Mittelpunkt mit dem Schnittpunkte 
der Kanten zusammenfällt, so schneiden 
die Ebenen der Ecke ein sphärisches 
Vieleck ab, das so viel Seiten, als die 
Ecke Kanten hat. Die Seiten des Viel 
ecks betragen dann ebensoviel Grade, 
als die Kantenwinkel der Ecke, und die 
Winkel des Vielecks sind gleich den 
Ebenenwinkeln der Ecke.“ 
Beweis. Sei OABCD (Fig. 269) die 
Ecke, ABCD das zugehörige Vieleck. 
Der Kanteuwinkel AOB ist dann Centri- 
Fig. 269. 
winkel der Vielecksseite AB, beide ha 
ben also gleich viel Grade. Was den 
Neigungswinkel der Ebenen AOB und 
AOC anbetrifft, so wird er von den in 
beiden Ebenen auf AO senkrechten Linien 
gebildet; diese Ebenen sind aber zugleich 
die der Bogen AB und AC. Zieht man 
nun z. B. an Bogen AB eine Tangente, 
so liegt diese in Ebene AOB, und steht 
auf dem Halbmesser AO senkrecht. Da 
nun die Tangenten an AB und AC den 
Winkel des Vielecks bilden, so fällt der 
selbe mit dem Ebenenwinkel der Ecke 
zusammen. 
Scholion. Man kann sonach jede 
Ecke durch ein sphärisches Vieleck von 
gleicher Seitenanzahl repräsentiren. Beide 
entsprechen sich so, dass die Kantcn- 
winkel der Ecke durch die Seiten des 
Vielecks, die Ebcncnwinkel der Ecke 
durch die Winkel des letzteren gemessen 
werden. Alle Sätze von Ecken beziehen 
sich also ohne Weiteres auf sphärische 
Vielecke und umgekehrt. In der Regel 
lassen sich diese Sätze, namentlich die 
von dreiseitigen Ecken und sphärischen 
Dreiecken, besser für die letzteren als für 
die ersteren merken, nämlich wegen der 
Analogie mit den ebenen Dreiecken, 
welche sich hierbei vorfindet. 
V. Lehrsätze. 
Lehrsatz 4. „Wenn in einem sphä 
rischen Dreiecke (dreikantige Ecke) zwei 
Seiten dem Quadranten gleich , (zwei 
Kantenwinkel rechte sind) so hat jeder 
Winkel die gleiche Gradzahl als seine 
Gegenseite, (ist jeder Ebenenwinkel 
dem gegenüberliegenden Kantenwinkel 
gleich).“ 
Beweis. Seien in der dreikantigen 
Ecke OABC (Fig. 270) die Winkel AOB 
Fig. 270. 
und AOC rechte. Es steht dann AO 
auf OB und OC, also auf der ganzen 
Ebene OBC senkrecht, es siud also auch 
die durch AO gelegten Ebenen AOB 
12*