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nach auswärts 
Oß', OC', 
Kanten einer 
der ersteren g 
letztere wird 
ersteren gena 
ursprüngliche 
ecke eine Ku 
sphärische Vi 
anzahl. Das c 
man Polarv 
Steht z. B, 0 
recht, so sind 
rechte. Die E 
von den Punl 
sind also Qnac 
Polarviele 
ecks auch als 
Eckpunkte vo 
um einen Vie 
Lehrs atz 
Supplementari 
auch OAB . 
Beweis. I 
dass wenn O 
züglich auf di 
senkrecht ste' 
lieh auf OA'. 
müssen. Stel 
OBC senkrec 
auf dem Du 
mithin OB a 
so werden di 
winkel selbst 
müssen, was 
Definiti 
den Schnittpe 
(Fig. 273) au 
Raumlehre. 
Raumlehre. 
und AOC auf BOC senkrecht sind, die 
Ebenenwinkel bei OB und OC rechte, 
wie die gegenüberliegenden Kantenwinkel. 
Was den dritten Ebenenwinkel bei AO 
anbetrifft, so wird er von den Lothen 
auf AO in Ebenen AOB und AOC d. h. 
von den Linien BO und CO gebildet, 
und ist also dem gegenüberliegenden 
Kantenwinkel BOC ebenfalls gleich. 
Lehrsatz 5. „Ist in einem sphäri 
schen Dreiecke (dreikantigen Ecke) eine 
Seite ein Quadrant und ein Winkel ein 
rechter, (ein Kantenwinkel und ein Ebenen 
winkel rechte) so rvird jeder Winkel ge 
messen durch die gegenüberliegende Seite, 
(ist jeder Ebenenwinkel gleich dem ge 
genüberliegenden Kanten winkel).“ 
Beweis. A) Seien Kantenwinkel AOB 
(Fig. 270) und der anliegende Ebenen 
winkel ÖB rechte, so ist AO auf der 
Durchschnittslinie der Ebenen AOB und 
BOC, also auch auf der ganzen Ebene 
BOC senkrecht (Satz 11. des vorigen 
Abschnittes). Also Winkel AOC ein 
rechter, somit findet der vorige Lehrsatz 
statt, woraus das Ucbrige folgt. 
B) Seien Kantenwinkel AOB (Fig. 270) 
und der gegenüberliegende Ebenenwinkel 
OC rechte. Zieht man in Ebene AOC 
auf OC ein Loth, so muss dies (Satz 11. 
des vorigen Abschnitts) auf Ebene BOC, 
also auf BO senkrecht stehen. Dies 
Loth fällt also mit AO zusammen, d. h. 
Winkel AOC ist ein Rechter, und der 
Fall wie oben. 
Mache ferner AF — AC, nehme AB be 
liebig lang und ziehe BC, BF, welche 
AD in D schneidet und DC, so ist 
Dreieck BAF £ BAC, also BC = BF. 
BD kleiner als BC+CD und also: wenn 
man BC - BF abzieht, FD kleiner als CD. 
Nun haben die Dreiecke CAD und FAD, 
zwei gleiche Seiten, es ist also der FD 
gegenüberliegende Winkel kleiner, und 
mithin Winkel FAD kleiner als CAD 
und hierzu Winkel BAF—BAC addirend, 
erhält man: Winkel BAD kleiner als 
BAC-\-CAD. Was aber von dem gröss 
ten Winkel BAD gilt, ist umsomehr bei 
den andern Winkeln der Fall. 
Lehrsatz 7. „Die Summe aller 
Seiten eines sphärischen Vielecks (der 
Kantenwinkel einer Ecke) ist kleiner als 
die Peripherie des grössten Kreises (als 
vier Rechte).“ 
Beweis. Man durchschneide die Ecke 
OABCDE (Fig, 272) durch eine beliebige 
Ebene ABCDE, welche somit ein ebenes 
Vieleck von so viel Seiten als das 
Fig. 272. 
Lehrsatz 6. „In jedem sphärischen 
Dreiecke ist die Summe zweier Seiten 
grösser als die dritte.“ 
Beweis. Sei ABCD (Fig. 271) die 
zugehörige Ecke, und BAD der grösste 
Kantenwinkel, Ziehe AF so in Ebene 
BAD, dass Winkel BAF — BAC ist. 
Fig. 271. 
zugehörige sphärische abschncidet. Die 
Summe der Polygonwinkcl eines «-Ecks 
beträgt 2« — 4 Rechte. Die Schenkel 
jedes dieser Winkel EAB, bilden mit 
einer Kante OA unserer Ecke eine an 
dere dreiseitige, es ist also EAB kleiner 
als OAE + OAB nach dem vorigen Satze; 
somit beträgt die Summe derjenigen 
Winkel OAE, OAB, OBA, OBC u. s. w., 
welche die Kanten der Ecke bei O mit 
den angrenzenden Seiten des ebenen 
Vielecks machen, mehr als 2«—4 Rechte. 
Je zwei dieser Winkel OaB und OBA 
geben aber mit einem Kantenwinkel AOB 
zusammen zwei Rechte, so dass für die 
Summe aller dieser Winkel und der 
Kantenwinkel bei O zusammen sich 
2« Rechte ergeben. Da nun die ersteren 
Winkel mehr als 2n—4 Rechte betrugen,