Raumlehre. 
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Raumlehre. 
I 
Kantenwinkel weniger als vier Rechte 
(Lehrsatz 7). Sind «, ß, y . . . diese 
Winkel, so sind die Ebenenwinkel der ge 
gebenen Ecke: 2R—«, 2R—ß, 2 R—y, 
also ihre Summe 2n R weniger einer 
Grösse, die keine vollen vier Rechte 
beträgt, so dass diese Summe der Ehenen- 
winkel jedenfalls kleiner als 2n Rechte 
aber grösser als 2n — 4 Rechte ist. 
Zusatz. Für die dreikantige Ecke 
und fürs sphärische Dreieck ist n = 3. 
Also: „Die Summe der Winkel eines 
sphärischen Dreiecks wird immer grösser 
als zwei und kleiner als sechs Rechte 
sein.“ 
VIII. Definitionen. 
Die folgenden Betrachtungen enthal 
ten die Lehre von der Congruenz und 
Symmetrie der Raumgebilde. 
Definitionen. Wie zwei Gebilde 
in der Ebene, so werden auch zwei Ge 
bilde im Raume, die auf einander gelegt 
sich vollständig decken würden, con- 
gruent genannt. Es ist auch ohne 
weiteres klar, dass bei congruenten 
Raumgebilden, alle Flächen, welche sie 
begrenzen oder bilden, einzeln verglichen 
sich decken, dass alle Stücke d. h. Linien 
und Winkel (zwischen Linien und Ebenen) 
in derselben Reihenfolge gleich sind. 
Indessen lässt sich nicht wie in der 
Ebene auch im Raume diese Bedingung 
umkehren, d. h. man kann nicht sagen, 
dass wenn die Stücke in gleicher Rei 
henfolge gleich sind, die Raumgebilde 
auch congruent sein müssen. Schon bei 
Gebilden in der Ebene ergibt sich hier 
ein Unterschied. Bei den congruenten 
Dreiecken ABC und abc z. B. (Fig. 275) 
Fig. 275. 
wo AB = ab, BC = bc, AC = ac sein soll, 
ist nicht allein die Reihenfolge der glei 
chen Linien und Winkel dieselbe, son 
dern auch die Anordnung; sie liegen so, 
dass in beiden Figuren von zwei ent 
sprechenden Stücken AB und ac zu dem 
nächsten Winkel A und a, Seite AC und 
ac in demselben Sinne weiter gegangen 
wird. Bei den ebenfalls congruenten 
Dreiecken DEF und def, wo DE — de, 
EF—ef, DF=df, ist dies jedoch nicht 
der Fall, wenn auch die Reihenfolge, 
DE = de, Winkel E~e u. s. w. dieselbe 
ist, so ist doch die Anordnung bei einem 
Dreiecke die umgekehrte, wie bei dem 
andern, d. h. wenn von Punkt D nach E 
in einem Sinne (hier von links nach 
rechts) vorgeschritten wird, so wird von 
d nach e im umgekehrten Sinne (von 
rechts nach links) vorgeechritten. Der 
Erfolg für die Deckung der Dreiecke ist 
der, dass das letztere Paar DEF und 
def nur zur Deckung gebracht werden 
kann, wenn man das eine mit seiner 
Ebene umwendet. Da eine Ebene, die 
umgekehrt wird, ihre ursprüngliche Lage 
deckt, so ist dies immer möglich. Bei 
Raumgebildcn ist dies aber nicht der 
Fall. Dieselben decken sich nur, wenn 
alle Stücke in derselben Reihenfolge und 
Anordnung gleich sind. Ist die Anord 
nung bei einem Gebilde aber die umge 
kehrte von der des andern, so findet keine 
Deckung statt, — wir nennen die Gebilde 
dann symmetrisch*). Ueber Congruenz 
und Symmetrie ergeben sich sogleich 
folgende Wahrheiten: 
A) „Wenn alle Stücke zweier Raum 
gebilde in gleicher Reihenfolge gleich 
sind, so sind sie entweder congruent 
oper symmetrisch.“ 
B) „Wenn bei drei Gebilden alle Stücke 
in gleicher Reihenfolge gleich sind, so 
müssen zwei davon wenigstens congruent 
sein.“ 
C) „Sind zwei Gebilde A und B einem 
dritten C symmetrisch, so sind A irnd ß 
congruent.“ 
*) Beispiele von symmetrischen Ge 
bilden sind die beiden Hände, ein Körper 
und sein Spiegelbild, u. s. w. 
IX. Lehrs 
Diese Lehrsi 
mul Symmetrie 
sphärischen D 
sind aber die 
A) „Sind 
congruent ode 
auch die zu ge 
B) „Sind 
congruent, so 
dreiecke.“ 
Wir werder 
Sätze auf die 
also auch de 
Bogen des gi 
Jedes Dreieck 
gegebenen bei 
sind, wird ihr 
aber Stücke i 
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aber die Anor 
so ist das zu 
mit ABC con 
symmetrisch. 
L ehrs atz 
sphärischen I 
an der Grund 
Beweis, 
nen Dreiecke 
(Fig. 277). 
Bogen CD, s 
Satze, die Dr« 
metrisch, also 
Zusatz. 
AD = DB, r 
ist, ganz wie