Raumlehre. 
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Raumlehre. 
kehrter Anordnung gleich sind, Dreieck 
ABO symmetrisch AGO. Also ABO ist 
entweder DOF oder dem symmetrischen 
Dreiecke von DEF symmetrisch, im 
letzteren Falle werden ABO und DEF 
congruent sein. 
Lehrsatz 14. „Wenn in zwei sphä 
rischen Dreiecken zwei Seiten und der 
Gegenwinkel der einen entsprechend 
gleich sind, die Gegenwinkel der andern 
aber nicht zusammen zwei Rechte be 
tragen, so sind die Dreiecke congruent 
oder symmetrisch.“ 
Beweis. Sei AB = DE, AC = DF 
(Fig. 279), Winkel C=F, Winkel A + D 
Fig. 279. 
ungleich zwei Rechten, (dies ist also der 
Fall wenn beide spitz oder beide stumpf 
sind). Ist die Anordnung dieselbe, so 
legt man die Dreiecke so aufeinander, 
dass die Winkel F und C zusammenfallen, 
ist die Anordnung bei beiden entgegen 
gesetzt, so nimmt man statt DEF das die 
sem symmetrische Dreieck. Setzen wir das 
erste voraus, so fällt dann D auf A, 
und E in die Richtung von BC. Fällt 
es nicht in B sondern in G, so ist 
Dreieck ABG gleichschenklig, Winkel 
ABG = AGB, d. h. ABG + AGC = 2R, 
oder, da Winkel AGC= E, B + E = 2U. 
Ist dies nicht der Fall, so müssen also 
B und G zusammenfallen. 
Die übrigen Sätze von der Congruenz 
ergeben sich leicht aus folgender Be 
trachtung. Seien P und Q zwei Dreiecke, 
P f und Q r ihre Polardreiecke. Sind 
letztere congruent, so sind es auch die 
erstercn. Die letzteren aber sind con 
gruent z. B. wenn zwei Seiten und der 
eingeschlossene Winkel gleich sind, und 
da die Seiten des Polardreiecks die 
Winkel des gegebenen zu zwei Rechten 
ergänzen und umgekehrt, so sieht man, 
dass in diesem Falle zwei Winkel und 
die dazwischen liegende Seite in den 
ursprünglichen Dreiecken gleich sind. 
Also: 
Lehrsatz 15. „Zwei sphärische 
Dreiecke sind congruent oder symme 
trisch, wenn entsprechend zwei Winkel 
und die dazwischen liegende Seite gleich 
sind. Ebenso so ergibt sich aus Lehr 
satz 13. und 14. 
Lehrsatz 16. „Zwei sphärische Drei 
ecke sind congruent oder symmetrisch, 
wenn entsprechend die drei Winkel gleich 
sind.“ 
Lehrsatz 17. „Zwei sphärische Drei 
ecke sind congruent oder symmetrisch, 
wenn entsprechend zwei Winkel und die 
Gegenseite des einen gleich sind, die Ge 
genseiten des andern sich aber nicht 
zum Halbkreise ergänzen.“ 
Anmerkung. Man bemerke, dass 
es bei der Congruenz der sphärischen 
Dreiecke einen Satz mehr wie bei den 
ebenen, nämlich den Lehrsatz 16. gibt, 
dass also hierbei immer mit der in 
Satz 14. und 17. enthaltenen Beschrän 
kung aus der Gleichheit dreier entspre 
chenden Stücke die Congruenz oder Sym 
metrie der Dreiecke folgt. Bei den ebenen 
Dreiecken ist nämlich die Gleichheit 
dreier Winkel darum keine ausreichende 
Bedingung weil ein Winkel von den bei 
den andern zu zwei Rechten ergänzt 
wird, also durch dieselben gegeben ist, 
somit die drei Winkel nur zwei Stücke 
repräsentiren. Bei sphärischen Dreiecken 
aber, wo die Summe der Winkel zwi 
schen 2 und 6 Rechte betragen kann 
(Lehrsatz 10. Zusatz) ist dies nicht der 
Fall. Der Salz in der ebenen Geometrie, 
dass zwei Seiten und der Gegenwinkel 
der Grösseren zur Bestimmung des 
Dreiecks völlig ausreichen, findet dage 
gen in der sphärischen Geometrie kein 
Analogon. Bemerken wir noch, dass 
auch die Aehnlichkeit der ebenen Drei 
ecke nichts Entsprechendes in Bezug 
auf die Dreiecke, welche auf einer Kugel 
fläche liegen, findet. 
IX. Aufgaben. 
Diese Aufgaben bezwecken aus drei 
gegebenen Stücken einer körperlichen 
Ecke (sphärischen Dreiecks) die übrigen 
durch Construction in der Ebene zu 
finden. Es reichen nach den eben ge 
gebenen Sätzen diese Stücke mit der in 
Satz 14. und 17. gegebenen Beschrän 
kung nämlich immer zur Construction 
des Dreiecks hin. 
Aufgabe 1. „In einer dreikantigen 
Ecke sind die Kantenwinkel gegeben. 
Die Ebenenwinkel zu finden.“ 
Vorbereitung. Sei OABC (Fig. 
281) die Ecke und der zu bestimmende 
Kantenwinkel OA. Legt man durch den 
beliebigen Punkt A von OA, AB in 
Ebene OAB, AC in Ebene OAC senk 
recht, so ist BAC der Kantenwinkel; da 
aber die W 
kannt sind, 
AB, AC, 0 
man BC zie 
ecks ABC u 
Also : 
Auflösu 
Winkel N1 
QMR = BO( 
Nehme N 
Linie PQ sc 
und MQ, im 
Bilde ein D 
Seiten hat, 
Winkel ist 
Aujfgab 
Ecke sind 
eingeschloss 
Die übrigen 
Vorher 
eben nur ui 
da dann d: 
zurückgefüb 
(Fig. 280) d 
man wieder 
AB und Al 
Ebenen OA 
CAB = OA, 
so OB und 
nun zwei Se 
Winkel alsc 
bekannt; in 
drei Seiten, 
b ekannt. 1 
Kantenwink 
Auflösu