Raumlehre. 
189 
Raumlehre. 
Im Fall 4) ist: 
A = C = D = 0, B = f, 
also nach Formel 3): k = 2f. 
Im Falle 5): 
A = B = D = 0, C = f, 
also: 2k = 5 f. 
Zu dieser Formel kommt in beiden Fällen 
ganz wie im Falle 1): 2k = 3e. 
Man hat also in Fall 4) die Gleichungen . 
k = 2f, 2k = 3e, A + k - k = 2, 
d.h.: Ar = 12, /*=6, e=8 
und im Falle 5: 
2k = 5f, 2k = Be, 4- k + k - k = 2, 
0 o 
also : k - 30, f = 12, e = 20. 
Die fünf regelmässigen Polyeder haben 
also folgende Beschaffenheit: 
1) 4 Dreiecke, 4 dreikantige Ecken und 
6 Kanten: 
Der Körper ist ein Tetraeder. 
2) 8 Dreiecke, 6 vierkantige Ecken und 
12 Kanten: 
Der Körper ist ein Octaeder. 
3) 20 Dreiecke, 12 fünfkantige Ecken 
und¿30 Kanten: 
Der Körper ist ein Ikosaeder. 
4) 6 Vierecke, 8 dreikantige Ecken und 
12 Kanten: 
Der Körper ist ein Hexaeder (auch 
Cuhus oder Würfel). 
5) 12 Fünfecke, 20 dreikantige Ecken 
und 30 Kanten: 
Der Körper ist ein Dodekaeder. 
Lehrsatz 5. „Die regelmässigen 
Polyeder von der eben angezeigten Be 
schaffenheit sind in der That vorhanden.“ 
Beweis. A) Das Tetraeder. Man 
kann aus den Ecken eines gleichseitigen 
Dreiecks ABC (Fig. 285) mit der Seite 
desselben als Radien drei Kugelflächen 
schlagen, deren Schnittpunkt D, mit A, 
Fig. 285. 
B, C verbunden, offenbar noch 3 gleich 
seitige Dreiecke giebt, deren Seiten alle 
gleich sind. A, B, C, D sind dann drei 
kantige und congruente Ecken, in wel 
chen, da alle Kantenwinkel gleich sind, 
dies auch mit den Ebenenwinkeln statt 
findet, (da gleichen Kantenwinkeln gleiche 
Ebenenwinkeln gegenüherliegcn). 
B) Das Octaeder. Aus dem Mittel 
punkte O eines Quadrates ABCD (Fig. 
286) wird ein Loth OE auf der Ebene 
Fig. 286. 
desselben errichtet, von A aus mit Halb 
messer AB in Ebene ADE ein Kreis 
geschlagen, der OE in E schneidet, und 
AE, BE, CE, DE gezogen. Diese Li 
nien sind alle unter sich gleich; zieht 
man nämlich Loth EG auf AB und ver 
bindet OG, so sind die Dreiecke AGO 
und BGO wie leicht zu sehen, congruent, 
(OA = OB, OG = OG. 
Winkel OGA = OGB = R), 
also auch Dreieck AEG £ BEG und 
AE — BE; Gleiches gilt von den andern 
Seiten. 
Da die dreiseitigen Ecken bei ABCD 
sonach congruent sind, werden alle vier 
Ebenenwinkel bei AE, BE, CE, DE 
gleich sein. Bei E entsteht eine vier 
kantige Ecke, deren Ebenenwinkel die 
eben genannten, und deren Kantenwinkel 
den Winkeln EAß, EBA u. s. w. gleich 
sind. Errichtet man also auf der an 
dern Seite von ABCD eine ABCDE 
gleiche Flächenverbindung ABCDF, so 
hat man 6 vierkantige congruente Ecken, 
in denen 8 gleichseitige Dreiecke Zu 
sammentreffen.