Raumlehre. 
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Raumlehre. 
zen Pyramiden werden in ein Netz sol 
cher Prismen wie ABCDEF eingehüllt, 
deren Höhen gleich sind, und deren 
Grundflächen nach der Spitze hin, ab 
nehmen. Jede Grundfläche eines solchen 
Prismas HKL in ABCG ist der ent 
sprechenden hkl in abcg nach dem vori 
gen Satze gleich, es sind also auch je 
zwei Prismen, da Grundfläche und Höhe 
gleich sind, einander gleich, und folglich 
der ganze Körper, welcher ABCG ein 
hüllt, dem abcg einhüllenden. Der In 
halt dieser Körper nähert sich aber mit 
der Abnahme der Höhen der einzelnen 
Prismen und mit der daraus folgenden 
Zunahme ihrer Anzahl bis auf jede Grenze 
dem Inhalte der Pyramiden selbst, und 
mithin sind auch diese unter einander 
gleich. 
Lehrsatz 4. „Jede Pyramide ist 
der dritte Theil eines Prisma, welches mit 
ihm gleiche Grundfläche und Höhe hat.“ 
Beweis. Es genügt, diesen Satz an 
einer dreiseitigen Pyramide zu beweisen, 
da jede andere sich in dreiseitige von 
gleicher Höhe zerlegen lässt, wenn man 
die Grundfläche in Dreiecke theilt, und 
von der Spitze der Pyramide Linien nach 
den Winkelspitzen dieser Dreiecke zieht. 
Ist nun jede dieser dreiseitigen Pyrami 
den der dritte Theil eines Prisma von 
gleicher Grundfläche und Höhe, so ist 
die ganze Pyramide auch der dritte Theil 
des Prisma, welches gleiche Höhe und 
die Summe der Dreiecke zur Grundfläche, 
also mit der gegebenen Pyramide gleiche 
Grundfläche hat. 
Sei nun ahed die gegebene dreiseitige 
Pyramide (Fig. 295). Ergänze Dreieck 
abd zum Parallelogramm abed und ziehe 
Fig. 295. 
ce, so hat man eine zweite Pyramide bedc, 
welche mit abcd gleiche Grundfläche 
(Dreieck abd ebd) und Höhe (das von 
c auf die Grundfläche gefällte Loth) hat. 
Zieht man noch cf parallel ad und legt 
Ebene fde parallel abc hindurch, so sind 
cf eh und cfda Parallelogramme, also 
ef — bc, df — ac, auch war cd — ba, also 
Dreieck edf £ abc, und wenn man diese 
Dreiecke bezüglich als Grundflächen der 
Pyramide defc uud abcd betrachtet, so 
haben diese auch gleiche Höhen, nämlich 
das zwischen beiden parallelen Ebenen 
errichtete Loth. Die ganze Figur ahedef 
zerfällt also in drei Pyramiden, welche 
gleichen Inhalt haben. Offenbar aber 
ist abedef ein dreiseitiges Prisma, wel 
ches mit der gegebenen Pyramide abcd 
die Grundfläche abc und die Höhe ge 
mein hat. Somit ist unser Satz bewiesen. 
Zusatz. „Symmetrische Körper ha 
ben gleichen Inhalt.“ 
Beweis. Immer wird sich in jedem 
derselben ein Punkt finden lassen, von 
dem man nach allen Ecken Linien ziehen 
kann, so aass die Körper in Pyramiden 
getheilt werden, wovon die entsprechen 
den der einzelnen Körper gleiche Grund 
fläche und Höhe haben. 
IV. Definition und Lehrsätze. 
Definition. Obgleich als Einheit 
des körperlichen Maasses jeder beliebige 
Körper bestimmt werden kann, gibt man 
dieser Einheit doch eine Beziehung zum 
Längenmaasse, und wählt dazu den 
jenigen Würfel, dessen Seite gleich der 
Längeneinheit, dessen Seitenflächen also 
gleich der Flächeneinheit sind. Daher 
die Bezeichnungen Cubikfuss, Cubikzoll 
u. s. w., als Maasseinheiten des körper 
lichen Maasses, worunter Würfel ver 
standen werden, deren Seite einen Fuss, 
Zoll u, s. w. lang ist. 
Lehrsatz 5. „Jedes Prisma enthält 
an körperlichem Inhalt soviel körperliche 
Einheiten, als das Product der Flächen 
einheiten der Grundfläche in die Längen 
einheiten der Höhe beträgt.“ — Abge 
kürzt lautet dieser Satz: „ Der Inhalt 
eines Prisma ist gleich dem Product 
aus Grundfläche und Höhe.“ 
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