Raumlehre. 
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mittlere Proportionale zwischen Beiden 
haben. 
Beweis. Sei abedef (Fig. 297) die 
abgestumpfte Pyramide und hk ihre Höhe. 
Wir ergänzen sie zur vollständigen Py 
ramide, deren Höhe yk sein möge, und 
setzen abc = G, def = y, hk = H, yh = K, 
so ist; Pyramide defg = ^ Ky, Pyramide 
abcy = i(K+U)G, also die abgestumpfte 
Pyramide, deren körperlichen Inhalt wir 
mit J bezeichnen: 
J = ±[{K + H)G-Kyl 
Es handelt sich darum, die Grösse 
K zu bestimmen. Offenbar verhalten 
sich die ähnlichen Figuren abc und def 
wie die Quadrate der Höhen yh und yh. 
Dies ist im Beweise zu Lehrsatz 3. be 
reits ausgeführt, also: 
Raumlehre. 
Fig. 297. 
dk 
'/ 
\/ 
h 
G (H + KV 
T = ~~K* oder K(VG -]/.</) = U]/y, 
K 
ny~y 
H + K= ~J= 
hYg 
YG-Yg’ "’ r “ VG-Yg' 
Diese Werthe in den von J eingesetzt, gehen: 
hYg^-V^ 
3 YG-Yg ' 
Man hat aber: 
Y& - Yg ? = (Vg - YH) Oie*+YGg + Y<r) = (g + Ygü + 9), 
d. h.: 
Offenbar stellen bezüglich: 
(G+YGg + g). 
HG Hi Hj/Gg 
3 ’ 3 ’ s~ 
die Inhalte dreier vollständigen Pyra 
miden dar, welche bezüglich G, g und 
die mittlere Proportionale von G xxnd y 
zur Grundfläche, alle drei aber H zur 
Höhe haben, wodurch unser Satz be 
wiesen ist. 
An diese Entwicklungen* knüpfen wir 
noch: 
V. D efiniti on und Lehr s atz, 
Definition. Polyeder heissen ähn 
lich, wenn in derselben Anordnung alle 
entsprechenden Seiten dasselbe Verhält- 
niss haben, alle entsprechenden Kanten- 
und Ebenenwinkel aber gleich sind. 
Lehrsatz 8. „Die Grundflächen ähn 
licher Pyramiden verhalten sich wie die 
Quadrate der Höhen, die Pyramiden 
selbst wie die Würfel der Höhen.“ 
Beweis. Seien abcd, AB CD (Fig. 
298) die Pyramiden. Da die Ecken d 
und D congruent sind, so lassen sich 
die Pyramiden so auf einander legen, 
dass diese Ecken zusammenfallen, und 
abc in die Lage von FGH fällt. FGH und 
ABC werden dann parallel, da FG parallel 
AB, FH parallel AC, die Figuren also in 
den Ebenen zweier Winkel mit paral 
lelen Schenkeln liegen. Fällt man Loth 
DE auf ABC, welches FGH in K schnei 
det, so hat man auch die Höhe FKzzde 
der Pyramide abcd. 
Nun ist ABC er FGH, also: 
ABC = AB* 
FGH FG* ’ 
Dreieck DAB DFG , 
l’l 
y 
m 
1 
/• 
f- t: 
ä 
| I 
also: 
DA 
DE AB 
jtfeyKi 
■ ■ Hl 
DF~ 
DK~FG , 
also: 
nm 
ABC _ 
DE 2 
, ABC 
DE 2 
FGH ~ 
DK* 
oder —— 
abc 
~~d^' 
womit der 
erste 
Theil des 
Satzes be- 
SS 
m