Raumlehre. 
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Raumlehre. 
gedacht werden, indem man ein Rechteck 
um die eine fest gedachte Seite dessel 
ben dreht, die beiden auf der festen 
senkrechten Seite geben die Grundflächen, 
die der festen parallelen Seite die Cy- 
linderfläche. 
II. Definitionen. 
Jede krumme Oberfläche, in der man 
durch jeden Punkt eine Grade ziehen 
kann, welche durch einen festen Punkt 
in dieser Oberfläche geht, heisst Kegel - 
fläche ode r Kegelmantel, der feste 
Punkt heisst Spitze. Legt man durch 
einen Kegelmantel eine Ebene, so heisst 
der zwischen ihr und dem Kegelmantel 
bis zur Spitze befindliche Körper Kegel, 
die Ebene, welche ihn begrenzt, seine 
Grundfläche. Jede auf der Kegel- 
fläche befindliche Grade wird Seite des 
Kegels genannt. 
Zwei einander unendlich nahe Seiten 
des Kegels schliessen ein Stück der 
Kegelfläche ein, das man als eben be 
trachten kann, und somit ist der Kegel 
als eine Pyramide zu betrachten, deren 
Seitenzahl unendlich gross ist, somit 
gelten die für die Pyramide gegebenen 
Betrachtungen auch für ihn. Legt man 
also eine der Grundfläche parallele Ebene 
durch den Kegel, wodurch dann ein ab 
gestumpfter Kegel entsteht, so Avird 
diese Ebene eine der Grundfläche ähn 
liche Eigur aus dem Kegel herausschnei 
den, — Man kann sich eine Kegelfläche 
auch entstanden denken, indem man 
eine grade Linie längs einer gegebenen 
Curve so dahin führt, dass sie immer 
durch denselben Punkt geht. 
Ist die Grundfläche des Kegels ein 
Kreis, so heisst er Kreiskegel. Geht 
das von der Spitze eines Kreiskegels 
auf die Grundfläche gefällte Loth (also 
die Höhe des Kegels) durch den Mittel 
punkt derselben, so heisst der Kreis 
kegel ein grader. Ein grader Kreiskegel 
kann entstanden gedacht werden, indem 
man ein rechtwinkliges Dreieck um eine 
feste Kathete dreht; die andere Kathete 
beschreibt dann die Grundfläche des 
Kegels, die Hypotenuse den Mantel. 
Da jede Seite des Kegels von dieser 
Hypotenuse gebildet wird, so folgt hier 
aus auch, dass die Seiten des graden 
Kreiskegels alle gleich sind. 
III. Aufgaben. 
Aufgabe 1. „Den körperlichen In 
halt eines Cylinders zu bestimmen.“ 
Auflösung. Da ein Cylinder als 
Prisma betrachtet werden kann, so gilt 
die Formel für dasselbe auch hier. Ist 
also g die Grundfläche, h die Höhe, so 
ist J = gh die Formel für den Cylinder. 
Hat derselbe zur Grundfläche einen Kreis 
mit Radius r, so ist g — nr 2 (siehe den 
Artikel: Quadratur), also: 
J zz nr 2 h. 
Aufgabe 2. „Den körperlichen In 
halt eines Kegels zu finden.“ 
Auflösung. Ist g die Grundfläche, 
h die Höhe, so hat man wie bei der 
Pyramide: J zz j-gh, und wenn die Grund 
fläche ein Kreis mit Radius r ist: 
J zz £nr 2 h. 
Aufgabe 3. „Den körperlichen In 
halt des abgestumpften Kegels zu finden.“ 
Auflösung. Sind G, g die Grund 
flächen, h die Höhe, so ist, wie bei der 
abgestumpften Pyramide: 
J = ^h{G + Y Gg + g). 
Sind aber die Grundflächen Kreise, und 
ihre Radien bezüglich r und p, so ist: 
G zz nr 2 , g = Tip 2 , yGg zz nrq, 
also: 
J zz £nh(r 2 -j-rp+p 2 ), 
Aufgabe 4. „Den Mantel eines 
graden Cylinders zu finden.“ 
Auflösung. Sind AB, CD (Fig. 300), 
einander unendlich nahe liegende Seiten 
des Cylinders, die hier also der Höhe 
gleich sind, so stehen dieselben auf der 
Grundfläche und mithin auf den als grade 
zu denkenden Linien AC und BD senk 
recht, so dass ACBD ein Rechteck ist, 
dessen Flächeninhalt h - AC sein wird, 
wo h die Höhe des Cylinders ist; addirt 
man alle, so entstehen unendlich kleine 
Rechtecke ABDC, C1JFE u. s. w., und 
man erhält also für den Mantel M: 
M=zh(AC + CE + ...) 
also wenn 
u — AC -f- CE , . 
d. h. den Umfang der Grundfläche be 
zeichnet : 
M zzz hu. 
Für den graden Kreiscylinder ist: 
u ■= 2nr, 
also: 
M = 2 nrh. 
Aufgabe 5. „Den Mantel eines 
graden Kreiskegels zu finden.“ 
Auflösung. Betrachte man das von 
zwei Seiten AO und CO (Fig. 301) und 
einem Theile AC der Grenzcurve der 
Grundfläche gebildete, als eben anzuneh 
mende kleine Dreieck, so ist dies recht-