Raumlehre, 
Raumlehre. 
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S r 
S — S Q 
also : 
und 
M — ns (r + ()) = n (r 4- h' 2 + (r — (■>) 2 . 
Dies giebt den Satz: 
„Der Mantel eines abgestumpften gra- 
den Kreiskegels ist gleich der Summe 
der Mäntel der beiden vollständigen 
Kegel, welche mit ihm gemeinschaftliche 
Seite und bezüglich die beiden Grund 
flächen desselben zu Grundflächen haben.“ 
IV. Definitionen. 
Schneidet man eine Kugel durch zwei 
parallele Ebenen, so heisst das zwischen 
ihnen liegende Stück der Kugelfläche 
Zone, und das entsprechende Stück der 
Kugel selbst wird auch wohl „körper 
liche Zone“ genannt. Die Senkrechte 
zwischen beiden Ebenen heisst „Höhe 
der Zone“. 
Eine Ebene schneidet von der Kugel 
ein Stück ab, das man Kugelsegment 
nennt. Geht diese Ebene durch den 
Mittelpunkt, so wird das Segment zur 
Halbkugel. Das Stück der Kugelfläche, 
welches eine solche Ebene abschneidet, 
wird Kalotte genannt. Legt man 
durch alle Punkte der Peripherie einer 
solchen Schnittebene Linien, die durch 
den Mittelpunkt der Kugel gehen, so ent 
steht ein Körper, der von einer graden 
Kreiskegelfläche, die ihre Spitze im 
Mittelpunkte der Kugel hat und von 
einer Kalotte begrenzt, also aus einem 
Segment und einem Kegel zusammenge 
setzt ist. Derselbe heisst Kugel secto r. 
V. Aufgaben. 
Aufgabe 7. „Den Flächeninhalt 
einer Zone oder Kalotte zu finden.“ 
Auflösung. Im Halbkreise dessen 
Mittelpunkt О (Eig. 303) ist, ziehe man 
auf dem Durchmesser PQ senkrecht а А 
Fig. 303. 
und ЬВ nach der Peripherie, und Cc 
durch die Mitte der Sehne AB, nach der 
Mitte c von ab und CO, so ist auch Cc 
auf PQ senkrecht. Denken wir uns nun 
den Halbkreis um Durchmesser PQ ge 
dreht, so beschreibt die Peripherie des 
selben eine Kugelfläche, Linie AB aber 
den Mantel eines abgestumpften graden 
Kreiskegels, dessen Flächeninhalt sein 
wird, da Aa, Bb die Radien der Grund 
flächen sind, während AB die Seite ist: 
nAB(Aa-\- Bb) — 2nAB • Cc, 
Es ist aber Dreieck ABF er COc (sie 
haben beiden einen rechten Winkel und 
Winkel cCO ergänzt ACc zum Hechten, 
ist also gleich BAF), daher: 
AB CO 
AF ~ Cc ’ 
also : 
AB ■ Cc = AF - CO - ab-CO, 
also für unsern Kegelmantel erhalten wir 
2/r • ab • CO. Aehnliche Ausdrücke er 
geben sich für alle diejenigen Kegel 
mäntel, welche durch die an einander 
grenzenden Sehnen EA, AB, BD . . . 
gebildet werden. Nehmen diese Sehnen 
an Grösse ab, so nähert sich ihre Summe 
dem Bogen ED und die durch ihre 
Fortbewegung erzeugte Oberfläche der 
Zone, welche cd zur Höhe hat. Zu glei 
cher Zeit aber werden CO und die ent 
sprechenden Linien, welche aus den Mitten 
der andern Sehnen nach O gezogen sind, 
sich alle dem Radius der Kugel r nähern. 
Wir haben also für die Summe aller 
dieser abgestumpften Kegel, oder für 
die Zone mit Höhe ed: