'Raumlehre. 
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Raumlehre. 
Fig. 305, 
und 
Zweieck BAFC=~£r, 
360 
CEF+BCÄ =m 
da die Summe dieser beiden Dreiecke 
gleich dem Zweieck CABD ist. 
Nun bilden die Figuren: 
ABEC + BAFC und CEF+BCA 
offenbar die Halbkugel vermehrt um 
zwei A, es ist somit: 
|^(«+/*+J')=|+2a. 
woraus sich ergibt; 
A F (ct + ß + y —180) 
4 180 ’ 
oder, wenn man für F den Werth setzt: 
A nr^a + ß + y — 180) 
180 
Die Winkel sind hier in Graden ausge 
drückt, Sind a, 6, c dieselben Winkel im 
Bogenmaass, d. h, in Theilen von a, 
so ist: 
„Der Flächeninhalt eines sphärischen 
Dreiecks ist gleich dem Producte des 
Excesses in das Quadrat des Radius der 
Kugel.“ 
Aufgabe 10. „Den Flächeninhalt 
eines sphärischen n-Ecks zu finden.“ 
Auflösung. Sei V — ABCDE (Fig. 
306) das n-Eck. Zieht man von einem 
Punkte innerhalb des Vielecks O nach 
Fig. 306. 
den Eckpunkten grösste Kreise, so zer 
fällt dasselbe in n Dreiecke, die Summe 
ihrer Flächeninhalte wird nach dem obi 
gen sein; 
180 a 1806 180 c 
~T - ’ F = ——> 
n n n 
also: 
A = r 2 (a + b + c — 7i). 
Offenbar ist die Summe a + ß + y immer 
grösser als 180°, und a-j-6 + c grösser 
als n. Diesen Ueberschuss pflegt man 
auch den sphärischen Excess zu 
nennen, und man hat den Satz: 
V = + m 2 + ... — nn). 
Die Grössen m, m l , m 2 . . . drücken die 
Winkel dieser Dreiecke im Bogenmaass 
aus. Offenbar besteht aber diese Winkel 
summe aus den Winkeln unsers Vielecks 
und den Winkeln um O, welche 360° 
oder im Bogenmaass 2a betragen. Ist 
also A die Summe aller Winkel des 
Vielecks im Bogenmaass, so haben wir: 
V = r*{A-(n-2)n).