Raumpendel. 
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Raumpendel. 
3) 
(£) = 
C + 2yz. 
5) 
dar a + dy 2 -f 
dt 2 
c -f 2^z. 
Die Constante C ist aus dem Anfangs- Differenziren wir noch Gleichung 1) so 
zustande zu bestimmen. Ein zweites In- kommt: 
tegral ergibt sich, wenn man die erste 
Gleichung 2) mit y die zweite mit x mul- 6) xdx -\-ydy — — zdz 
tiplicirt, suhtrahirt und integrirt, nämlich: und durch Addition der Q uadrate von 
4) xdy — ydx — c'dt. 4) und 6): 
Die Gleichungen 1), 3) und 4) reichen ( x i + y a) (y x i + ¿ y v) — *2^2 _f_ c ' 2 rfi a , 
zur Lösung des Problems aus. 
Die Gleichung 3) nimmt nämlich die für x 2 + y 2 und dx 2 + dy 2 aber setzen 
Gestalt an: wir aus 1) und 8) ein, und erhalten: 
also: 
7) 
(« 3 
z 2 ) [(c + 2yz)dl 2 -dz 2 ] 
+ adz 
z 2 dz 2 +c' 2 df*, 
dt 
V{a 2 
z 2 ) {c+2gz) — c' 2 
Das Zeichen + ist zu nehmen, wenn der schwere Punkt im Fallen, das Zei 
chen —, wenn er im Steigen ist. 
Diese Gleichung gibt z als Punktion von 1). Offenbar ist der Werth ein ellip 
tisches Integral erster Ordnung. — Es kommt jetzt noch darauf an die Hori- 
zontalprojection des bewegten Punktes zu finden. 
Führen wir Polarcoordinaten an, und zwar sei 
r 2 — a -a + y 2 — a 2 — 2 2 , 
also r das von dem Orte des bewegten Punktes auf die durch den Anfangspunkt 
gehende Yertikallinie gefällte Loth, ff der Winkel dieses Lothes mit der Axe 
der x, also: x~r cosif, y ~r siny>. Es nimmt also Gleichung 4) die Gestalt an: 
8) r- dy — c'dt, 
also; 
^ ac'dz 
7 _ a 2 -z 2 ~ {a 2 - z 2 )\ {a 2 - z 2 ) (c + 2gz)-~J*’ 
wo immer das obere Zeichen genommen ist. 
Dieses elliptische Integral dritter Ord 
nung giebt (p als Funktion von z oder t. 
Um c' zu bestimmen, zerlegen wir die 
Anfangsgeschwindigkeit in zwei Compo- 
nenten m und n, m stehe senkrecht auf 
der Vertikal ebene, welche durch den An 
fangspunkt der Coordinaten und den 
bewegten Punkt geht, die andere n liege 
in dieser Ebene. Die Horizontalpro- 
jection der Anfangsgeschwindigkeit be 
steht dann ebenfalls aus zwei Compo- 
nenten, von denen eine nach r gerichtet, 
die andere auf dieser Linie senkrecht 
ist, und diese letztere ist mit m offen 
bar identisch, während sic auch durch 
den Anfangswerth von r ausgedrückt 
werden kann. Ist aber k die Anfangs 
geschwindigkeit selbst, die immer tan 
gential an die Kugel wirkt, a der Winkel, 
den sie mit der Senkrechten auf die 
durch den Anfangspunkt und den be 
wegten Punkt gelegte Vertikalebene macht, 
so ist 
also: 
m — k cos a, 
d'f 
—r = k cos «, 
dt 
und wegen Gleichung 8): 
c' — rk cos ce. 
Es sei noch e der Anfangswerth von z, 
so ist: 
r — ]/a a — e a , 
also: 
10) 
kYa 2 
e 2 cos «, 
Um die Integration, so weit dies in 
elementarer Weise geschehen kann, wirk 
lich auszuführen, nehmen wir an, dass 
der schwere Punkt sich nur sehr wenig 
von der Vertikallinie entferne. 
Sei 0- der Winkel, den die durch An 
fangspunkt und bewegten Punkt gehende 
Linie (Pendelrichtung) mit der Richtung 
der Schwere macht. Nehmen wir ferner 
die Anfangsgeschwindigkeit als horizon 
tal an, so ist ß = 0, und