Rectification der Curven. 
229 Rectification der Curven. 
und somit: 
woraus dann folgt : 
• 1 ]/p'+y s 2 ±v s 
wo y für y s gesetzt ist. — Für den Brennpunkt der Parabel ist y — p, also: 
o ' v » = Vi + ir l0i5(1+ t /2) - 
Diese Formel stellt also die Länge des 
parabolischen Bogens vom Scheitelpunkte 
bis zu der durch den Brennpunkt ge 
henden Ordinate vor. 
Es ist zu erkennen, dass diese Me 
thode im Wesentlichen nichts anders ist, 
als die in der Integralrechnung ange 
wandte. Gleiches lässt sich aber wohl 
von allen Methoden sagen, welche die 
durch Integralrechnung gewonnenen Re 
sultate auf elementarem Wege darstellen 
sollen 
Die Rectification des Kreises führt 
unmittelbar auf die Quadratur desselben 
zurück. Vergleiche hierüber den Artikel 
Quadratur (geometrische). Im Uebrigen 
sind Kreis und Parabel die einzigen Ke 
gelschnitte, deren Rectification in Form 
von Functionen, die nicht durch Inte 
grale definirt sind, gelingt, und sonach 
leuchtet es ein, dass überhaupt nur in 
seltenen Fällen algebraische Curven sich 
in Form bekannter Functionen rectifi- 
ciren lassen. 
Von den transcendenten Curven, wo 
dies möglich ist, merken wir besonders 
die Cycloide, Epicycloidc und Hypocy- 
cloide. lieber diesen Gegenstand ist das 
Notlüge in dem Artikel: Radlinien ent 
halten. Hierbei bemerken wir noch, 
dass sich Epicycloiden und Hypocycloi- 
den bilden lassen, welche algebraische 
Curven von beliebig hohen Graden sind. 
Dies ist nämlich der Fall wenn der feste 
und der erzeugende Kreis Radien haben, 
die in einem rationalen Verhältnisse 
stehen (vergl. hierüber den Abschnitt 3) 
des Artikels: Radlinie). So gelingt es 
unendlich viel algebraische Curven die 
rectificirbar sind, zu finden. 
Wegen ihrer historischen Wichtigkeit 
betrachten wir noch die Rectification der 
Neill’schen Parahel, deren Gleichung ist: 
ay 2 = x s 
auf elementare Weise. Es ist diese Curve 
nämlich, wie es scheint, nächst dem Kreise 
die erste, hei der es gelungen ist, sie zu 
rectificiren. 
Ganz wie bei der Apollonischen Pa 
rabel gelangen wir zu der Formel: 
t ~ s —• 
ON. = 1 
t= o 
wo x 0 = y 0 = 0 ist, Woraus sich denn mittels der Gleichung der Curve ergibt: 
ON 
t=S—1 / iss 
oder wenn man setzt x t = z*: 
ON 
>i—‘i-1) yW+«(_ d* ■+ h ( v + vi-1+•»- ’)*> 
t~S— I 
= 2 (*, 
<=0 
oder mit Berücksichtigung des verschwindend kleinen Unterschiedes von 
und z t _ y :