Rectification der Curven. 
232 Rectification der Curven. 
wo —B der letzte Eckpunkt der gebrochenen Linie, a 0 — A der erste ist. 
Denkt man sich die Anzahl der Punkte a zunehmend und einander näher rückend, 
so nähert sich dieser Ausdruck einer ganz bestimmten Grenze S, welche durch 
das Integral gegeben ist: 
s= f a y*‘+*»'+**'=/' p+(!)’+(!)'*• 
Die Grenzen « und ß sind die den Punkten A und B entsprechenden Werthe 
von x. Nach den Eigensshaften solcher Ausdrücke, (vergleiche den Artikel: 
(analytische) Quadraturen) ist dies Integral unabhängig von dem Gesetze, durch 
welches die Zwischenräume der Punkte a L , a 2 . . . verbunden sind, vorausgesetzt, 
dass alle diese Punkte auf der Curve AB liegen, und die Entfernungen je zweier 
nächsten Punkte verschwindend klein sind; unter diesen Bedingungen ist also S die 
Grenze jeder gebrochenen Linie, deren Eckpunkte auf der Curve AB liegen. Es 
lässt sich nun zeigen, dass alle diese Curven nicht allein gleiche Länge haben, 
sondern auch völlig zusammenfallen. Das Stück einer solchen Linie zwischen 
a und a . , ist nämlich gleich: 
n w-f-1 ö 
T. 
n 
Denke man sich einerseits die grade Linie a a ... und die Linie a b ... a , , 
n M-f- 1 ’ 71 1 2 «+ 1 ’ 
wo h l b 2 ... Punkte der Curve sind, so stellt das Integral beide Linien dar; diese 
haben also gleiche Länge. Da nun von zwei gleichen Linien, die gemeinschaftliche 
Eckpunkte haben, von denen eine eine grade ist, die andere mit ihr zusammen 
fallen muss, so liegen auf der verschwindend kleinen Graden a a 
° n t 
Punkte b t b 2 ..., und da diese ganz beliebig zwischen a n und 
gen auf der verschwindend kleinen Graden au , , auch die 
° n n+ l 
und da diese ganz beliebig zwischen a und a , . auf der 
ö 6 _ n n+1 
Curve genommen waren, so sehen wir, dass die Grenze S eine Linie vorstellt, 
auf der sich alle Punkte von der Curve AB befinden, mithin diese Curve selbst. 
Es ist also die allgemeinste Eectificationsformel in rechtwinkligen Coordinaten: 
1) 
Bei einer einfach gekrümmten Linie erhält man z = 0, also: 
2) 
Führt man Polarcoordinaten ein, setzt man also im Falle einer einfach ge 
krümmten Linie: 
x — 7' cos y — r sin S- 
dx — — r sin SdO- -f cos & dr 
dy — r cos dd& + sin 0 dr, 
dx 2 4~dy 2 = -f dr 2 , 
woraus sich ergibt: 
so hat man: 
3) 
wo a und b die Anfangswerthe von r, y, h die entsprechenden Werthe von d- sind. 
Bei doppelt gekrümmten Linien ist: 
x — r cos 9-, y = r sin 0 cos y, z = r sin 9 sin y. 
dx = —rsin9d9+ cos 9dr 
dy — — r sin 9 sin rf dff, -f r cos 9 cos qd9+ sin 9 cos <fdr 
dz ~ r sin 9 cos 7 dif 4- r cos 9 sin 7 d9 4* sin 9 sin 7 dr, 
also: