Rectification der Curven. 234 
Rectification der Curven. 
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so kommt: 
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und die Integration gelingt immer in einfachster Weise in Form einer ganzen 
algebraischen Funktion von u. Die Neillsche Parabel ist offenbar der einfachste 
Fall und entspricht dem Werthe von k gleich Eins. 
Setzt man dagegen: 
n 
wo k ebenfalls eine ganze Zahl ist, so hat man: 
2 
Z 
oder wenn man: 
setzt: 
Dieses Integral enthält Arcus und Lo- also, wenn man die Grenzen 0 und x 
garithmen, ist aber in jedem Falle zu einführt: 
berechnen. Der einfachste ist wieder T r 
der, wo k — 1 ist, und entspricht der 
apollonischen Parabel. Da übrigens die 
Gleichung der Parabel in dem hier be 
trachteten Falle die Form annimmt: 
— I 2k 
x , 
Verbindet man diese Gleichung mit der 
für den Flächeninhalt der Kettenlinie : 
so sieht man. dass alle Parabeln von 
der Form: 
rectificirhar sind, wenn s eine beliebige 
ganze Zahl ist. 
so sieht man, dass 
F — aS, 
Die Gleichung der Kettcnlinie 
ist: 
also der Flächeninhalt der Bogenlänge 
proportional ist. Wie beim Kreise, bil 
den also auch hier Quadratur und 
Rectification dasselbe Problem. 
also: 
Um auch Anwendungen der Polar- 
coordinaten zu zeigen, betrachten wir 
die Archim edische Spirale, deren 
Gleichung ist: 
r = a 9. 
Die Formel 3) gibt; 
woraus 
sich dann ergibt: 
0