Rectification der Curven. 235 Rectification der Curven. 
Die logarithmische Spirale hat Von den doppelt gekrümmten Curven 
zur Gleichung : 
ab 
untersuchen wir diejenige, deren Glei 
chungen sind: 
und ergibt: 
dr 
db 
ab 
n 
y — ax , 
z = bx 
/ •b „ 
e db, 
A 
also: 
„ Y1 a 2 . ab 
S= =~2~ (C ' 
-1). 
Die Projectionen der Curve auf die drei 
Coordinatenebenen sind Parabeln höherer 
Ordnung. 
Man hat: 
dy — nax n 1 iIx, dz — mbx m 1 dx, 
also; 
S rr ~]/X + ti 2 a 2 x'( n y + m 2 b i x 2 ^ m ^ dx. 
Die Integration gelingt z. B., wenn n 
2, m ist. Die Gleichungen der 
Curven sind dann y — ax 2 , z — bxdie Projection auf die xy Ebene ist in diesem 
Palle eine apollonische, die auf die xz Ebene eine Neillsche Parabel. Man hat 
dann: 
S = j* "|/1 -f 4« 2 .r 2 -j- — b 2 x dx. 
Man gelangt bei der Integration zu einem 
algebraischen Ausdruck um einen Loga 
rithmus vermehrt. 
In manchen Aufgaben betrachtet man 
auch doppelt gekrümmte Linien, welche 
durch Umwickeln einfach gekrümmter 
auf gewissen Flächen entstanden sind. 
Es ist hierbei zweckmässig, den Bogen 
der einfach gekrümmten Erzeugungs 
linie zu bestimmen, der natürlich dem 
der doppelt gekrümmten gleich sein 
muss. 
Sei z. B. x 2 -jryi* — a 2 die Gleichung 
eines Umdrehungscylinders, y x = x x tg/u 
die einer Graden. Indem man letztere 
um den Cylinder wickelt, erhält man 
y^—z, und die Länge der Graden zwi 
schen den Ordinaten y l und y 2 ist: 
+ •- 
Sind a t und z 2 die entsprechenden 
Werthe von z auf dem Cylinder, so ist 
die Bogenlänge der Schraubenlinie somit 
Fig. 316. 
eine Schaar auf einander folgender Nor 
malen, 
. die Krümmungs 
mittelpunkte, so dass man also hat: 
a c , ~ a c , . . ., 
n n— l ’ 
gleich — L .— 2 2 . 
sm ^ “n-1-n-l 
4) Was die Auffindung rectificirbarer s0 . offenbar . 
Curven anbetnnt, so ist zunächst zu 
merken, dass die Evolute einer beliebi- a i c i~ a i c » — c i c 2! a 2 c i~ a 3 c s~ c ?. c s ••• 
gen Curve, welche eine Gleichung in n c, —ac—c c, 
endlicher Form hat, rectificirt werden s— ’ 1 s —1 s s s ~ 1 s 
kann. Sei AB (Fig. 316) ein einfach also durch Addition aller dieser Glei- 
gekrüramter Curvcnbogen, chungen erhält man: 
...« .c a c ... rt.c. —« c = c.c„+c,c, + .. +c . c, 
n—1 n — \nn 11 ss 12281 s—1 s.