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Rectificatiou der Curven. 237 
wo x und * die Coordinaten der neuen 
Curve sind, so ist der Flächeninhalt der 
letzteren gleich der Bogenlänge der er- 
steren. Die älteren Mathematiker aber 
haben sich viel mit dem umgekehrten 3 
Probleme beschäftigt, Curven zu finden, 
deren Quadratur sich auf die Rectifica- 
tion einer andern Curve zurückführen 
licss, da ihnen, freilich mit Unrecht, 
von beiden Problemen das der Rectifi 
cation als das einfachere galt. 
Ist zwischen s und x eine Gleichung 
gegeben, welche die in Rede stehende 
Curve vorstellt, so hat man; 
Reduction. 
n xzdz 
.1 y~-T“ 
y — X yz 2 — 1 
dy 
dx 
= Vz'-l, 
also: 
' y — f\z l — 1 dx 
und das ist die Gleichung derjenigen 
Curve, deren Rectification auf die Qua 
dratur der gegebenen führt. Es ist also 
nöthig, dass eine zweite Quadratur sich 
in endlicher Form ausführen lasse. 
Beispiel. Sei z 2 = 2px, also die 
Curve eine apollonische Parabel, so ist: 
V = fVfyx ~ldx= ~y{2px - l) 3 , 
also: 
9p*y 2 =(2px-l) 3 . 
Dies ist diejenige Curve, deren Bogen 
länge dem Flächeninhalt der Parabel 
gleich ist; setzt man noch : 
2p 
so erhält man: 
9y 1 ~ 8px 3 . 
Die Curve ist also die Neillsche Parabel. 
Um Curven zu finden, deren Quadratur 
auf eine Rectification zurückgeführt wer 
den kann, braucht man nur das Integral 
f y z 2 — 1 dx in ähnlicher Weise wie 
vorhin das Integral f dx 2 dy 2 zu be 
handeln. 
Da nämlich: 
f ]/s 2 — 1 dx = y, 
X — -=r- — X 
so ist: 
dy 
dx 
= Vz 5 
aber auch: 
V ~ X yz 2 — 
Setzen wir noch: 
da man noch hat: 
2) die \ z 2 — 1 =; xzdz 
so kann man w und z als Funktion einer 
neuen Unbekannten u beliebig anneh 
men, die Gleichung 2) gibt dann x, und 
die Gleichung 1) y dazu. Wird aus die 
sen beiden Gleichungen u eliminirt, und 
aus den Werthen für z und x ebenfalls 
u eliminirt, so stellt die erstere Gleichung 
diejenige Curve vor, deren Bogenlänge 
dem Flächeninhalte gleich ist, welcher 
durch die zweite Curve bestimmt wird. 
Beispiel. Sei 
w = m 2 , z — au; 
die Gleichung 2) gibt: 
2«V / a a M 2 —1 = xh 2 u 
oder: 
a 4 # 2 = 4(« 2 m 2 — 1). 
Eliminirt man u, so ergibt sich; 
a i x 2 = 4a 2 a 2 — 4. 
Die Gleichung stellt eine Hyperbel vor, 
deren beide Axen in einem ganz be 
stimmten Verhältnisse stehen. 
Die Gleichung 1) gibt: 
y — x ya 2 u 2 — 1 — n 2 , 
also, wenn man w eliminirt: 
a 2 x 2 1 
V ~ yi- 
Die Curve stellt eine apollonische Pa 
rabel vor. Indessen ist es nicht, wie 
hier allerdings der Fall ist, nöthig, dass 
sich die bezügliche Quadratur und Recti 
fication wirklich ausführen lasse. 
Reduction. 
Zurückführung eines complicirteren 
Ausdrucks oder Problems auf etwas Ein 
facheres. Gleichungen höherer Ordnung 
sucht man auf solche einer niederen 
Ordnung oder auf Wurzeln, d. h. auf 
binomische Gleichungen zu reduciren, 
Integrale, welche irrationale Ausdrücke 
enthalten, auf solche mit rationalen Aus 
drücken, Differenzialgleichungen auf Qua 
draturen, partielle Differenzialgleichungen 
auf gewöhnliche, Integrale, welche eine 
Quadratwurzel von einem Ausdrucke dritter 
oder vierter Ordnung enthalten, werden 
auf die canonische Form der elliptischen 
integrale reducirt u. s. w. Somit ist das 
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