Reihe. 
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Reihe. 
T — 1 + v cos 7-J~v‘ l cos2(f> + . . . -f- v l 1 cos (n — 1) 7 
U = v sin 7 + y 2 sin 2<i + . . . + v sin (n — 1) 7 
ist, während die Summenformel gibt: 
(1 - y n e n 'f‘ i ) 
n ^ ffi (1 — V COS y) a -(- K 2 sin If> 2 
und wenn man dies in einen reellen und imaginären Theil zerlegt, den ersten 
gleich T n , den letztem gleich U n setzt, so ergibt sich: 
T — 
. 11 11 1 / 1N 
1 — V COS f/1 — V COS lUfi + V COS(W — l)tfi 
1—2V COS (f + K 2 
n . , n 4-1 , 
v sm (fi — v sm n 7 + v cos (11 — 1) 7 
1 — 2k cos 7. -j- k 2 
Nimmt man an, dass v kleiner als 1 sei, und 11 ins Unendliche zunimmt, so er- 
U 
hält man hieraus: 
1 — V cos 7. 
T = 1 + v cos 7' + v 2 cos 2f + v 3 cos 87 + . • • = j— 
U — y sin 7. + V 2 sin 271 + . . • = . 
K sin 7) 
2k cos 7 + k 2 
1 — 2k cos 7 + k 2 ’ 
„ , ... ,. ~ immer eine Zahl ß vorhanden sein, die 
3) Einige Kegeln über die Con- zwigchen „ und 1 liegt, und grösser als 
vergenz der Reihen, welche sich 
aus der ge ome trisch en Reihe er- a n+1 
geben. — ist, man hat also: 
Aus dem blossen Vergleiche einer be 
liebigen Reihe mit einer geometrischen, a n+-2 a n +3 
ergeben sich gewisse Regeln für die < ß, < ßt < ß • • • 
Convergenz und Divergenz derselben. a n w-j-1 n+2 
Dieselben lassen sich in folgende Sätze a j s0 . 
zusammenfassen. " 
Wir nehmen zunächst an, sämmtliche a n j t .\ < ß a n' a n+‘l < P a n’ 
Glieder der zu untersuchenden Reihe a , „ < ß 3 a . 
... m+3 r 11 
seien positiv: 1 
I. Eine Reihe ist convergent, wenn Mithin; 
das Verhältniss eines Gliedes zum Vor 
hergehenden mit wachsender Stellenzahl 
einen Werth annimmt, welcher um eine 
%+« n+ 1+ a n +i+• • • < -«a + P 
+ ß 2 + ••0 
endliche Grösse kleiner als die Einheit und da d j e jjeibc sich einer endlichen 
ist; sie ist divergent, wenn dieser Werth 
grösser als die Einheit ist. 
Denn sei 
Cl 0 + a i + (l 2 + 
Grenze 
nähert, welche Null ist, 
wenn a — 0 wird, so wird auch die 
die zu untersuchende Reihe, so muss im Reihe links unter der angegebenen Be- 
Ealle der Convergenz : dingung Null sein. Nun ist 
ñP 
ei ~f ■ ct . . -j- a , -f- . . . 
11 11+1 11+ 2 
a < a 
n—p‘ 
mit wachsendem n sich der Null nähern, und da für hinrcic hend grosses ß sich ßP 
^ ei nun der Null nähert, so findet diese Bedin 
gung immer statt. Ist dagegen 
r M + * ^-1 
lim = ß< 1, 
so wird, wenn n hinreichend gross ist, 
lim 
n+\ 
n und « > 1