Reihe. 
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Reihe. 
wenn n eine ganze positive Zahl und kleiner als p ist, da im Zähler dann der 
Faktor Null vorkommt. Auch hat man: 
Es ist ferner: 
Nun hat man: 
n — (n ■ 
P 
1) 
p =1. 
r P 
n(n — 1) .., (n — p -f- 1) (n — 1) (« — 2)... (« — p) 
P 
1-2 
1-2 ... p 
(« — 1) (« — 2). .. (w — p +1) 
1*2 ... p — 1 
( n n — p\ 
V P ' 
woraus sich augenblicklich ergibt: 
1) 
- (n 
1 ), = (»■ 
1), 
mit bilden die Grössen 1 2 , 2 a , 3 a ... n 2 
eine Reihe zweiter Ordnung. In der 
selben Weise zeigt die Formel 1) dass 
die Ausdrücke: 
1») 2,, 3» ... n i 
V ' 'P ' ~'p- 
Setzt man p — 1, so hat man: 
l t = 1, 2 l = 2 ... n l= , 
Die Reihe der Ausdrücke bildet also zur Oifferenzreihe haben die Reihe: 
eine arithmetische Reihe erster Ordnung. 
Für p = 1 hat man: 
n 2 - (n- l) a = 
und wenn man für n nach und nach die 
Zahlen 2, 3 ... « setzt, so ist zu sehen, nomialcoefficienten: 
1_, 2_, 3 
lj) 2j . • • , 
also selbst eine Reihe dritter Ordnung 
bilden. 
Allgemein: „Die Reihe der p ten Bi- 
p‘ p p p 
ist eine arithmetische Reihe pter Ordnung.“ 
Zur Summation einer solchen Reihe 
aber gibt die Formel 1) das Nöthige. 
Setzen wir in derselben für n nach und 
2 -1 =3 
P P P- 
dass die Reihe: 
2 a , 3 a ... n2 
zu Differenzen je zwei auf einander fol 
gender Glieder die Reihe: 
11 > 2!, 3, ... (n 1) i, 
hat, also eine Reihe erster Ordnung ist. So- nach 2, 3 ... n so ergibt sich: 
., 3 -2 =2, ,, 4 -3 =3 ... n -(n-1) —(n—1) . : 
•1 p p p— 1 p p p — 1 p V Zp V. Jp—] » 
und durch Addition aller dieser Gleichungen ergibt sich: 
2) v =1 i>-' + V-i + 3,.-i + --- +( ’‘-Vi- 
Links ist das Glied — 1^ vernachlässigt, was geschehen kann, da rechts der Index 
p — 1 wenigstens gleich Eins, also p wenigstens gleich 2 und daher 1 immer 
gleich Null ist. 
Aus der Formel 2) lässt sich der Werth des «ten Gliedes und der Summe 
einer beliebigen arithmetischen Reihe finden. 
Was zunächst die Reihe erster Ordnung 
«n «l + «0> «1 + 2«01 «L + 3« 0 ... 
anbetrifft, so sei N l das «te Glied, S, die Summe der n ersten Glieder, und 
man hat offenbar: 
N t = a, +(« — l)a 0 
sowie: 
Sj - na l + (l+2 + 3 + ...-fn — 1) a q. 
Die in der Klammer enthaltene Summe gibt die Formel 2), wenn man darin/> = 2 
setzt, also: 
5 ^ ^ L« I "1 WjÖo . 
Seien jetzt iV a und S 2 bezüglich das «te Glied und die Summe der « ersten 
Glieder einer Reihe zweiter Ordnung, wie denn allgemein N und S' »ites Glied 
und Summe einer Reihe pter Ordnung vorstellen sollen. 
iV a wird erhalten, indem man die « —Isten Glieder einer Reihe erster Ord 
nung zu einer willkürlichen Grösse a % addirt, und man hat also, wenn man in 
dem Werthe von S 1 n durch n — 1 ersetzt: