Reihe. 
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Reihe. 
Die Glieder der Differenzenreihe sind 
also um einen Grad niedriger als die 
ursprüngliche Reihe, somit wird also die 
zweite Differenzenreihe Functionen von 
p — 2ter Ordnung u. s. w., also die p te 
Differenzenreihe Functionen von p —p ter 
Ordnung oder Constanten geben, womit 
unser Satz bewiesen ist. 
Hieraus folgt dann leicht: 
Satz IV. Die Producte der 
Glieder von verschiedenen arith 
metischen Reihen bilden eine 
arithmetische Reihe, deren Ord 
nung der Summe der Ordnungen 
der Partial reihen gleich ist. 
Nach Formel 3) ist nämlich das all 
gemeine Glied der Reihe pter Ordnung 
eine ganze Function pten Grades von n. 
Multiplicirt man nun die allgemeinen 
Glieder der Reihen von der Ordnung p, 
p t , p i : so hat man eine ganze Function 
vom Grade p +p t + p 2 + • . . ., also 
eine arithmetische Reihe von derselben 
Ordnung. 
Hieraus folgt dann namentlich: 
, Dass die pten Potenzen einer Reihe 
erster Ordnung, also z. B. der natürlichen 
Zahlen eine Reihe p ter Ordnung bilden.“ 
Sonach lassen sich auch mittels der 
Formel 4) diese Reihe summiren. 
Sei z. B. zu finden: 
S 2 — 0 2 + 1 2 -J- 2 2 -j- •.. + (tt — 1) 
so hat man: 
Reihe 
erste Differenzenreihe 
zweite „ 
also: 
und nach Formel 4): 
a 2 — 0, 
n(n — 1) n(n — 1) (n — 2) 0 n(n — 1) (2n — 1) 
” 1.2 1.2.3 ’ * p.2.3 
Sei ferner zu finden: 
S t =0 3 +l*+2 3 + ... + (h-1) 3 
Reihe 0 1 8 27 64 
erste Differenzenreihe 1 7 19 37 
zweite „ 6 12 18 
dritte „ 6 6 
S.= 
»(»-!) , 
1.2 + 
w(n-l) (n-2) 
1.2 .3 
n (n — 1) (n — 2) (n — 3) - 
1-2.3.4 b 
u. s. w. 
n(n — 1) 
1-2 
[i + a»-i + H«'-B»+6)i="1". 2 ! ) ‘ 
Es ist übrigens klar, dass eine arithmetische Reihe mit wachsender Glieder 
zahl bis ins Unendliche wächst, wenn die Differenzen endlich bleiben, also, wenn 
man diese Gliederzahl unendlich nimmt, in diesem Falle immer divergirt. 
5) Binomische Reihe. 
Die binomische Reihe ist der Ausdruck von (a + x) n geordnet nach ganzen 
positiven Potenzen von x. Wir werden diese Reihe zunächst darstellcn, indem 
wir annehmen, n sei eine ganze positive Zahl, in welchem Falle die Reihe immer 
bei einem bestimmten Gliede abbricht. — Zunächst sieht man, indem man successive 
a + x mit sich selbst, 2, 3 u. s, w. mal multiplicirt, dass man einen Ausdruck von 
der Form erhält: 
/„ . xti n , hi) n— 1 1 (ri) n—2 ,, . ( w ) n—1 , n 
{a + x) = a —« J- 'a x~\-cr^'a x i + •. • + f( n _ fl® + x , 
wo die Coefficienten « 
(n) 
(«) 
«s 
.,. ganze Zahlen sind.