Reihe. 
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Reihe. 
(«) 
Auch sieht man, dass = n ist. Multiplicirt man mm die eben gefundene 
Reihe nochmals mit «+x, so kommt einerseits: 
»i-4-1 »i+1 («+l) » (m+i) «—1 (n+l) n n+1 
(« + x) - a + ß t a x a x 2 + ... + « n « x +- x 
und andrerseits: 
«+1 n+1 ( («ft n ( («) (*)V«-1 2 , 
(rt-f-x) =« + \1 + « t / a x + \« i +« a / a x 2 + ... 
/ (n) (n) \ ii—i / (n) \ n . M + 1 
+ I« + ß I a 2 x -j-l« + l|ßx +x 
\ n — 2 « —1/ \ n—1 ' 
Durch Vergleich der Coefiicientcn beider Ausdrücke ergibt sich hieraus: 
(n+1) (n) (n) 
« = a -+« , 
p p— 1 p 
wo p jeden Werth von Null bis n annehmen kann, und man der Ergänzung 
wegen setzt: 
0) 1 (»0 . («) n 
0 n n+k 
wnnn k eine ganze positive Zahl ist. 
Schreiben wir die gefundene Gleichung unter der Form; 
(n+1) (n) (n) 
— ft = ft 
p p p— I 
und setzen für n nach einander die Werthe 1, 2 ... n— 1, so ergibt sich: 
(3) 
= « > • • • 
p~ l 
(n) (n-l) (n—l) 
: — ß = ft 
p p p— 1 
(2) (0 (•) 
« — « = « 
P p P— 1 
(3) (2) (2) 
re —« — a 
p p p-1 
(4) (3) 
« —ft 
p p 
und durch Addition aller dieser Gleichungen; 
(«) (1) (0 ^ (2) . (3) . ^ («-!) 
ß —ß =ß +ß +ß 4-... + ß 
P P P~ i p—i p—i p—i 
Nimmt man an, dass p — 1 wenigstens gleich 1 ist, so muss et' ^ immer gleich 
V 
(n) 
Null sein, (da ß =0 war) und man hat: 
nk 
(n) (0 (*) ^ , («-0 
p p — 1 p — 1 p — 1 
Ist zunächst p - 2, so hat man: 
n 
ß t = n 
(n) 
a 2 =1 + 2+ ...+« — 1 = n 2 
(vergleiche Formel 3) des vorigen Abschnittes). Setzt man p = 3, so ergibt sich 
in gleicher Weise: 
(n) 
«s = 1 2 + 2 a + ...+(w —l) a = « s , 
also indem man so fortfährt, ganz allgemein: 
(n) n (» — 1) (n — 2) ... (n — p +1) 
" — n ~ 1 • 2 • 3 . .. p ’ 
V 
V 
so dass man hat: