Reihe. 
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Reihe. 
6) lieber die Convergenz derjenigen Reihen, deren Glieder 
wechselnde Vorzeichen haben, oder imaginär sind. 
A. Reihen mit wechselnden Vorzeichen. 
Satz I. Wenn eine Reihe mit nur positiven Gliedern convcr- 
girt, so wird sie auch dann nicht zu convergiren aufhören wenn 
man die Vorzeichen beliebiger Glieder ändert. 
Denn sei: a 0 + « t +« 2 + « 3 + • • • die zu betrachtende Reihe, und alle Glie 
der positiv. Zur Convergenz ist nothwendig und ausreichend, dass 
(t (i 4- ,.. 
n n+l «4~- 
sich mit wachsendem n der Null nähert. Wenn man also beliebige Glieder dieser 
Summe weglässt, so werden die übrigen 
<t , +« , , + n . kleiner als a + n , , + a 
n+/> n-\-p n+p" ' n ii-j—i 1 «4- 2 
sein, und folglich mit der letztem Reihe sich der Null nähern Gibt man nun 
a , , a , ,, a , das negative Zeichen, so hat man: 
n-fp n-\-p n-\-p" ° ’ 
ei (t , -I- . •. 4~ et . — ct . -f- ct . . 4-. •. -p et . • . — ct , . -}- . . 
n' «4-1 n+p— l n+p n-\-p-\-i — 1 »i-f-// 
und von dieser Reihe verschwindet sowohl der positive als der negative Theil; es 
wird also die Reihe, welche von a 0 anfängt und deren Vorzeichen wechseln, 
immer convergiren. 
Indess findet die Convergenz von Reihen mit wechselnden Vorzeichen oft 
schon dann statt, wenn dieselbe Reihe mit gleichen Vorzeichen genommen, 
divergirt. Man hat nämlich folgenden Satz. 
Satz II. Eine Reihe, deren Vorzeichen abwechselnd positiv 
oder negativ sind, convergirt immer, wenn die einzelnen Glieder 
abnehmen und mit wechselnder Stellenzahl sich der Null nähern. 
Beweis. Sei ct 0 — a i -\-a 2 —a 3 4-• • • die zu untersuchende Reihe, wo a 0 
a l , ... positiv, « 0 > a y -> a 2 ... und lim a = 0 ist. 
Setzen wir: 
s -, n - a o ~ a i + a 2 — « 3 + • • • + n. ln 
S 2n .f | = a o ~ a i + a i ~ a 3 4- . ■ • + (t., n — 
S = ct 0 — ai — ct 3 4- . .., 
wo also S die ganze unendliche Reihe vorstellt. Es ist offenbar: 
Ä= S in~ ( a 2u+1 ~ a 2n+?) ~^ a 2n+ 3 ~ a in+') ~ ’ •" 
S = S >m4-1 + Kw+3 “ a 2n+J + “ a in+J + • * • 
Die Ausdrücke in den Klammern sind sämmtlich positiv, und man hat somit: 
S n , <S<S, . 
2tl-hl in 
Da nun mit wachsendem n der Unterschied der Reihen S„ und . d. h, die 
in 2n+l 
Grösse unter alle Grenzen sinkt, so liegt S zw:schen zwei beliebig zu 
verengenden Grenzen und stellt daher eine bestimmte Grösse vor, so dass der 
Reihenausdruck für S convergiren muss. 
Es ist aber hieran eine wichtige Bemerkung zu knüpfen. Wenn die Reihe 
2 = a 0 +a t +o, + a 3 4- .. ., 
wo alle Glieder positiv sind, convergirt, so werden auch die beiden Reihen: 
S r — ß 0 4" a t 4"rt 4 4- • • • 
und 
2” = rt t -f-«s 4* «s 4- •. •