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Reihe. 
offenbar jede einzeln convergiren. In diesem Falle kann man die positiven und 
die negativen Glieder der Reihe S in beliebiger Anordnung schreiben. Immer 
wird man dieselbe Summe erhalten; man hat also z. B.: 
S = a 0 — «£ + «3 — d s a t — . .a 0 a 2 — — a a + ... 
= a 0 + a., + a x — + « 6 + a 8 + a l0 — a 3 + ..., 
denn man kann ja die Reihen immer auf die Form 2 f — 2” bringen. Wenn 
dagegen die beiden Reihen nicht convergiren, so hat man: 
f(n)= a o+ a * + a * +••• + «2 n 
^( W ) = Ö i + rt3 + -*- + et 2n+l’ 
wo die Werthe von der Gliederzahl n abhängig sind. Es wird also z. B, sein: 
T = a 0 + a 2 - ai + + « a - ß 3 +... + a kn + a /m+% - « 2m+t 
= « 0 - + a 2 - «3 + ... + « 4w+2 - “iin+i + a in+l + a ‘ln+\ + • • • + a 4n’ 
und da der erste Theil der Reihe convergirt, und mit wachsendem n gleich S 
wird, so erhält man: 
T = S + a 2n +\ + a 2n+4 + ■ • * + a nn ' 
Die letztere Reihe nun wird im Allge 
meinen nicht gleich Null sein, somit die 
Reihe T von S verschieden sein. Man 
sagt in diesem Falle gewöhnlich, die 
Summe der Reihe hänge von der An 
ordnung der Glieder ab. Dies ist jedoch 
im uneigentlichen Sinne zu verstehen, 
da ja die Anzahl der positiven und ne 
gativen Glieder sich ändert, und so die 
Aenderung der Summe hervorgebracht 
wird. Wir fassen das Gesagte in fol 
genden Satz zusammen: 
Satz III. Bei einer conver gi 
ren den Reihe mit nur positiven 
Gliedern, können ohne Aende 
rung der Summe diese Glieder 
beliebig angeordnet werden. 
Wechseln die Zeichen der Glie 
der, so kann dies nur geschehen, 
wenn die Reihe der positiven 
und die der negativen Glieder 
jede für sieh einzeln conver 
giren. 
Anmerkung. Es gibt auch Reihen 
die aus unendlich viel unendlichen Rei- 
gebildet 
sind. 
Also: 
«0 
+ dy 
+ a 2 
+ 
+ d r 0 
+ d\ 
+ d\ 
+ 
)+«" 
i+«"a 
+ 
+ . 
. 
. 
In einer solchen darf ohne Aenderung 
der Summe nicht im Allgemeinen die 
Anordnung von Reihe zu Reihe verän 
dert werden, wenn gleich sämmtliche 
Reihen convergiren, es kann also z. B. 
eine Aenderung der Anordnung, wie: 
«o + a ' 0 + a " 0 +••• 
d 1 + 0/ 1 + a" t + . .. 
a 2 -f- a! . 2 + a" 2 + ... 
eine andere Summe hervorbringen. Der 
Grund ist leicht ersichtlich. Da die 
Reihe in der ersten Anordnung conver 
girt, so werden allerdings die Ausdrücke; 
et ct . —1—..,, 0/ *4- o! . . -f-. .. 
n M+l 1 ’ n n+1 1 
mit wachsendem n der Null gleich, ohne 
dass jedoch auch die Reihe: 
(«) . ( M +0. ( n ) . HO , 
a 0 + a 0 + «1. + •* 
gleich Null zu sein brauchen, so dass 
hier eine Aenderung eintreten kann. 
Beispiele zu dem Gesagten werden 
wir snäter sreben. 
B. Reihen mit imaginären 
Gliedern. 
Da man eine Reihe mit complexen 
Gliedern in einen reellen und einen mit 
i = Y—1 multiplicirten Theil zerlegen 
kann, so braucht man eben nur jeden 
einzelnen Theil auf seine Convergenz 
zu prüfen. Indess lässt sich oft die 
Untersuchung der Convergenz dieser 
Reihen auf folgenden einfachen Satz 
zurückführen. 
Jede Reihe mit complexen 
Gliedern convergirt, wenn bei