Reihe.
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Reihe.
Da n positiv ist, und für n — 0, die Reihe 1) direct f(0) = 1 gibt, so hat man:
/'(-«)= ~ 1 ~~={l + x)~ n ,
(l + x) n
womit der binomische Satz auch für negative Zahlen erwiesen ist. Derselbe hat
indess, im Falle n keine ganze positive Zahl ist, keine Gültigkeit mehr, wenn x
grösser als Eins ist. In die Formel:
(1 + x) n ~ 1 -\- n^x n^x 2 +. •.
können wir noch — für x setzen und erhalten, wenn wir mit a multipliciren:
a
f , x n n , n~ 1 . n — 3 , ,
(ß+aj) a d-Mj« x-^-n^a #*+...,
welches der binomische Satz in seiner allgemeineren Gestalt ist. Diese Reihe gilt
x
so lange also — kleiner als Eins, d. h, x kleiner als a ist.
a
8) Entwickelung transcendenter Funktionen in Potenzreihen.
Die in den Elementen vorkommenden transcendenten Functionen lassen sich
gewissermaassen als Grenzfälle von Potenzen betrachten, und es ist daher möglich
den binomischen Satz auf sie anzuwenden. Was zunächst die Exponentialgrössen
anbetrifft, so ist diese Anwendung bereits in dem Artikel Quantität (Abschnitt 3)
/ x\ n
gemacht. Wir entwickelten daselbst den Ausdruck f(x) = -j- ■—1 nach dem
binomischen Satze und erhielten, wenn wir n ins Unendliche wachsen Hessen,
aber als ganze positive Zahl voraussetzten:
f(x) = l + x + ^- +
1-2 1-2-3
indem sich die Convergenz dieser Reihe für jedes x aus dem Grunde heraus
stellte, weil
s+i
1--
a s s + 1m s + 1
mit wachsendem s sich der Null nähert, da s immer kleiner als n bleibt.
Es ist also dieser Ausdruck ganz unabhängig von dem Gesetze, nach welchem
n wächst, und da man somit setzen kann:
x 1
wo m wieder als ganze Zahl betrachtet werden kann, welchen ganzen oder ge
brochenen Werth auch x habe, so ergibt sich:
, v m x
№ ) = (i + -) .
Also, wenn man 1 -j = e setzt, so hat man:
n
e = i + i + _L + 1
e = 1 -hx +
1 - 2 1 1-2-3
x 2 x s
+:
+ .. .
+ . . .
1-2 1 1-2-3
eine Formel, die sich auch leicht auf negatives x ausdehnen lässt. Es ist nämlich:
und in den Reihen - Ausdrücken für die Grösse rechts verschwinden alle Glieder
bis auf das erste, so dass man hat
IS” 1
