Reihe. 
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Reihe. 
( \H 1 
1-^) =—i— 
Für imaginäre x aber dient die Formel: 
ai 
als Definition, woraus sich dann wie in dem angeführten Artikel gezeigt worden, 
die Reihen für cosinus und sinus ergehen. Wir wenden uns jetzt zur Entwickelung 
der Logarithmen in Reihen. Ist 
x 
e - y, 
so ist: 
« = lg V, 
dieser Logarithmus von y heisst der natürliche. Um den für irgend eine andere 
Basis a zu finden, setzt man a — y, woraus sich dann 
z = } s a y 
ergibt; da man aber hat: 
e^ a = a, also e*’^ a = y, 
so ist 
lg y 
lg V = lg a y lg a oder lg j . 
Die Berechnung der Logarithmen eines beliebigen Systems lässt sich also auf 
die des natürlichen Systems zurückführen. 
Was diese anbetrifft, so gibt die Gleichung: 
e a '=lim^l + ^ -y 
den Grenzwerth von y, nämlich: 
x — lim n \y 
also wenn man y— 1 + z setzt: 
lg (1 + 2) = lim n 
Aber nach dem binomischen Satze ist: 
cu. 
[(1 + 8)” -ij. 
r T I . (t- 1 ) (^- 1 )(^- 2 ) 
n L(l + *) — 1-1 — *4 JT2— z 4 1.2.3 * +••• 
Da — keine ganze Zahl ist, so wird diese Reihe nur für Werthe von 2, welche 
nicht grösser als Eins sind, convergiren. Da aber n unendlich gross ist, so ist 
diese Reihe noch direct zu untersuchen; es ist: 
1 
» 1 . 
A-fl 
a s -f- 1 
s 
Die Grenze dieses Ausdruckes ist 2, und das Kennzeichen, dass 2 Eins nicht über 
steigen kann, trifft auch hier zu. Da in diesem Falle aber , die Reihe eine be 
stimmte Summe hat, so kann man in lim« 
Null setzen, und hat: 
[(l + z) n -l] di 
die Grösse — gleich 
RS