Reihe. 
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Reihe. 
-ixi 
tgx = 
. , XI , —XlK ■ . — 2Xi. 
*(e +e ) *(l + c ) 
also wenn man tgx=y setzt: 
woraus dann folgt: 
also: 
1 _ ß —2iarctg y 
i(l + e“ 2iarctg V 
! i arc tg y 1 -\-iy 
~l — *y 
arctgjr = — (lg(l + ii/) - lg(l — »y))- 
Nach der oben gegebenen Formel lassen sich die Ausdrücke lg (1 + i y) und 
lg(l — iy) in Reihen entwickeln, so lange der Modul von iy, d, h. y selbst 
kleiner als Eins ist, und man hat: 
Ig(l-Hy)= iy +1- - ^—*i + ~5~ + 
iy 3 y l iy 5 
. y 3 ?/ 5 y 1 
arctg y = y-^- + ^--y + .... 
und die Gültigkeit dieser Reihe erstreckt 
sich über alle Werthe von y, die kleiner 
als Eins sind; aus den schon oben ge 
gebenen Gründen ist y = 1 selbst nicht 
ausgeschlossen, auch nicht y = — 1, da 
auch in diesem Falle die Glieder ab 
wechselnde Zeichen haben. Noch ist zu 
bemerken,, dass die Arcus tangens mehr 
deutig, die gegebene Reihenentwicklung 
aber eindeutig ist, und dass gleiches bei 
den Logarithmen stattfindet. Die hier 
über nöthigen Betrachtungen enthält der 
Artikel Quantität. 
9) Allgemeine Sätze über Ent 
wicklungen nach Potenz r eihen. 
In dem Artikel Quantitäten (imaginäre) 
ist der Satz bewiesen, dass jede Function 
f{x) sich in gewissen Grenzen nach gan 
zen positiven Potenzen von x entwickeln 
lasse, falls f(0) nicht discontinuirlich ist, 
und dass diese Entwicklung richtig bleibt, 
so lange die betreffende Reihe conver- 
girt. Man kann also die Entwickelbar- 
keit ohne Weiteres voraussetzen, und 
es kommt blos darauf an, die Coeffi- 
cienten der betreffenden Reihe zu be 
stimmen. Zu diesem Behufe dient nun 
namentlich folgender von Descartes her 
rührender Satz. 
• Wenn man in convergenter 
Reihe für unendlich viele con- 
tinuirlich auf einander folgende 
Werthe von x hat 
a 0 a l + x + n 2 x i + ... =0 
so muss 
a o = a i = «a = • • • = 0 
sein. 
Offenbar nämlich verschwindet mit ab 
nehmendem x die ganze Reihe bis aufs 
erste Glied, und man hat somit a ü — 0, 
also für jedes x auch 
a l x-\-\a 2 x’ 1 -|- « 3 » s -f-.. . = 0 
oder 
«i'+ «2® + a i x2 + • • • = 0, 
woraus bei abnehmendem x folgt <^ = 0, 
und 
« 2 + rt 3 » 2 -f . . . = 0, 
also a2 = 0 u, s. w. 
Nach diesem Satze lassen sich viele 
Functionen in Potenzreihen entwickeln. 
Beispiel. Sei z. B. die Function 
arc sin» zu finden. Wir setzen: 
arc sin» = a 0 -f a t »+ a 2 » a +... 
und indem wir differenziiren: 
, _j_ 2rt 2 »-}- 3a s af 2 + ... 
V1 — x 1 
Es ist aber: