Reihe. 
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Reihe. 
yi-. 
(1 -* 2 ) i = H-^+2^T2 a:4+ 13 ’ 5 
2 3 • 1 • 2 • 3 
+ 1-8.6.7 
2*-1-2-3-4 
x s + . .. 
Hieraus folgt dann : 
z 2 1-3 
2 + 2 i -l-2* + 2 3 -1-2-3' 
a; 2 1 • 3 1-3-5 0 „ „ 
1 + -K-+ ¿»-T—+o« i o.o J “ 2« a a;- 3« 3 a; 2 
— 4 a t x s — ... — 0: 
also wenn man die Coefficienten der einzelnen Potenzen vergleicht, so ergibt sich: 
A 1 • 3 • 5 ... 2s - 1 
a >s ~ a is4-1 — ~1 > 
+ 2 s -l-2-3.. v s(2s + l) 
womit zu verbinden ist a x — 1. 
Noch bleibt a 0 unbestimmt, indess ergibt sich direct; arc sin (0) = 0, und da 
die Reihe für x — 0 sich auf a 0 beschränkt, so ist a 0 = 0 zu setzen, also: 
x 3 1 • 3a; 5 1-3-5 , 
.rcsm» = « + g -^-|- F - T7 ^ + 2 . - - — X ’+... 
Was die Convergenz dieser Reihe anbetrifft, so hat man: 
"-»s + 3 _ (2s+ 1) 2 
«, s+ l ~ (2* +2) (2s+3)*’ 
ein Ausdruck, der mit wachsendem s sich x nähert. Zur Convergenz der Ent 
wicklung genügt also, dass x kleiner als Eins ist. 
Wäre arc cos x in eine Potenzreihe zu entwickeln, so hätte man: 
also: 
arc cos x — -¡r — arc sm x, 
U 
n x 3 l-3ar 5 
arc cos x - -g- x 2T3 2 2 -1. - 2 - 5 ' 
Nicht immer aber lassen sich die Entwicklungen auf so einfache Weise finden. 
Man hat bekanntlich: 
* 3 
tg a:: 
sm x 
x 
1 -2-3^~ 1-2-3-4-5 
1-2 1 1-2-3-4 
Will man aber diese Entwicklung, welche immer convergirt, in eine andere nach 
ganzen Potenzen von x umgestalten, wo natürlich auf die immerwährende Con 
vergenz zu verzichten ist, so kann man setzen: 
tgx = a l x-{-a 2 x' 2 + a 3 x 3 + . . . . 
Es ist dann 
tg (— x) - — a t x-\-a 2 x 2 —a 3 x 3 + . .. = — tg(a;). 
Das Glied a 0 verschwindet nämlich, da tg (0) = 0 ist, und man wird haben: 
a x x + a 2 x 2 + « 3 a; s + .. . = a x x — a 2 x 2 + a 3 a; 3 
also: 
a 2 = « 4 = .. . = 0. 
Aus beiden Entwickelungen von tg x folgt nun: 
*-rSrs + rdr.4T5 -•■• = (» + ».** + + ■■ ■> 
\ l-2^1-2-3-4 /