Reihe. 
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Reihe. 
Wenn man rechts die Multiplication ausführt, so wird der Coefficient des mit 
/.¡s-f-1 multiplicirten Gliedes sein: 
a 2s-l a 2s—3 
2~ + l-2-lT4 
...+ 
(-1) «. 
"2S+I- 1.2 ' 1-2-3-4 ”■ 1 1 • 2 • 3 ... 2s ‘ 
Zur Bestimmung der Coefficienten hat man also die recurrente Formel: 
2s-j-1 
2s—i _ 2s—3 
1•2 + 1-2* 3-4 
...+ 
1 • 2• 3 . .. 2s 1 • 2-3 . 
(-1) 
2s+ 1 
Es lassen sich hieraus die einzelnen Coefficienten bestimmen, wenn man nach ein 
ander setzt: s = 0, 1, 2.... Auf diese Weise ergibt sich; 
Clj- — 1, 
1-2 
-1 
1-2* 3’ 
1 
also ß. ——. 
s 1-2 
+; 
1*2-3 
1 
, also a 3 = £ 
16 
3 1-2-3-4-5 1-2-3-4 3-1-2 - 1-2-3-4-5 
u. s. w. Die evolute Bestimmung der Grössen a 3 , a s würde grössere Schwierig 
keit machen. Sie hängt in sehr einfacher Weise von derjenigen der sogenannten 
Bernoulli’schen Zahlen ab, von denen nachher die Rede sein wird. Man erhält: 
2 4 .r 5 2 4 • 17 x 1 
2x 3 
tg« = * + — + 
l-2-3-4-5^1-2-3-4-5-6-7 
Was die Convergenz dieser Entwicklung anhetrifft, so ist, um nicht in Weitläuf 
igkeiten zu gerathen, auf die allgemeinen Bedingungen der Convergenz für Potenz 
reihen zu verweisen, welche der Artikel Quantität (imaginäre) ergibt. 
Das Resultat für diese Entwicklung ist, dass sie so lange convergirt, als x 
die Einheit nicht übersteigt. 
Wir wollen noch cot x in eine Potenzreihe entwickeln. Es ist: 
x cot x — 
1 l-2"*~ 1-2-3-4 
+ 
1-2-3 1 1-2 -3-4-5 
da für x = 0, xcotx= 1 wird, erhält diese Reihe nur positive Potenzen von x, 
und man kann setzen: 
x cot x — b 0 4- b 2 x 2 ¿ 4 x 4 -f . . .; 
die mit ungraden Potenzen von x behafteten Glieder verschwinden nämlich, was 
sich ebenso wie bei der Tangente verificiren lässt. Aus beiden Gleichungen 
ergibt sich: 
- =(J 0 + M’+M 4 - --•) 
1 -2~^1 -2-3-4 
> + 
und durch Ausführung der Multiplication: 
, 2Ä ~ 2 , 
2s l-2-3 + 
2s —4 
-.. .+ 
1-2-3 1 1-2-3-4-5 
(-DX (-1)* 
1-2-3-4-5 ' 1-2-3 ... 2s-f-l~1-2-3... 2s’ 
womit die Gleichung b 0 = 1 zu verbinden ist, und alle b sich in ähnlicher Weise 
wie die Ausdrücke ergehen. 
Ehen so leicht lässt sich eine Reihe für seca; finden. Es ist: 
1 1 
secx= = T 
cos x 1 x 2 t x 4 
1 ~iT2 + i -2-3-4 “ ‘ * ‘