Reihe. 
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Reihe. 
ß n+1 _ ix + (n + 1) r<\ P 
a \ x + na / ’ 
n ' 
so nähert derselbe sich mit wachsendem n der Einheit, und gleiches findet mit 
_1 _P_ 
n , , \ n 
% =(*+««) 
statt. Es lassen uns also hier die obigen Kennzeichen der Convergenz im Stich. 
Dieselbe ist also direct zu prüfen. 
Wir nehmen zunächst an, dass « und x positiv seien. Es sind dann je 
nach dem a grösser oder kleiner als x ist, die einzelnen Glieder der Reihe S 
kleiner als eine der folgenden: 
x~P, {2x)~ P , (3x)~P . . . 
C(~~P, (2 a) P, (3r) P . . . 
Ist x negativ, so wird der Ausdruck — x + ma, wenn man m derart nimmt, dass 
via dass kleinste Vielfache von « ist, welches grösser als x ist, doch immer 
positiv sein, und die mit (—x -j-ma) P beginnenden Glieder unserer Reihe, 
werden kleiner sein, als die entsprechenden der Reihe 
(2«) P, (3«) P . . . 
In jedem dieser Fälle wird also unsere Reihe gleichzeitig convergiren mit einer 
der Reihen: 
a~P + (2a)~ P + (3a)~P + . . . 
oder: 
x~P + (2x)-P + {Bx)-P + 
welche beiden Reihen die Form annehmen: 
«~P (1 + 2~ P + 3~ P + . . .) x~P{l + 2~P + d~ p +. . .)* 
so dass die Convergenz unserer Reihe nur von der in der Klammer enthaltenen 
abhängt. 
Ist a negativ, so kommt die Betrachtung auf die Reihe: 
(-a)-P(-2r,)-P + (-Sa)~P+ .. ., 
zurück, (wo nöthigenfalls « mit x zu vertauschen ist), und da hierfür gesetzt 
werden kann: 
(- a)~ P (l + 2~P + S~P+. . .), 
so ist wieder die in der Klammer stehende Reihe maassgebend. Gleiches zeigt 
sich wie leicht zu sehen auch dann, wenn x und a complexe oder rein imaginäre 
Grössen sind, wie man sieht, wenn man statt der reellen Grössen x und na 
ihre Moduln betrachtet und eine Reihe von Moduln bildet, mod (na) P oder 
mod (nx) P, welche grösser als die von + P sind. Nur der Fall, wo x 
^ reell, und a rein imaginär ist, macht hier eine Ausnahme. In diesem Falle 
haben wir: 
• + P = (nai) P (l — —^ 
( xi\ n x *‘ 
1 I sich mit wachsendem n dem Werthe e 
na/ 
nähert, für diesen Fall: 
p xi 
(x + n a i) P — (n ai) P e a