Reihe. 
284 
Reihe. 
und da der reelle und imaginäre Theil der Exponentialgrösse beide kleiner als 
Eins sind, so wird die Convergenz der Reihe auch in diesem Falle von dem Faktor 
(uni) P, d. h. von der Convergenz der Reihe: 
(ai)~P + (2ai)~ p + (Bai)~ P + . . . 
oder von der Reihe l-j-2 P 4* 3 p . ahhangen. — Was nun diese letztere 
Reihe anbetrifft, so ist offenbar; 
2~P + B~ P < 2 • 2~ p 
4~ p + 6~P + 6~P +l~ p < 4 • 4t~ p 
+ 9~ p + 10~ p -f n-l> -f 12~P 4- 13 _i) + U~ p 4-lb~ p 4- 1Q~ P < 8 • 8“^ 
u. s. w., ferner 
1~P > 2~P 
2~P + S~ P > 2 • 4~ p 
4~P 4- 5~P 4- Q-P 4- 7-P > 4 • 8“* 
u s. w., so dass unsere Reihe convergirt mit der folgenden; 
1 4-2 1 ~- p 4-4 l_ ^4-8 1_ ' p 4-. .. = l4-2 l_iW 4-2 2 ^""^ 4-2^ ,_/ ^ + • • . 
und divergirt mit der folgenden: 
2-i } 4-2-^+ 1 4-2-^+ 2 4-2-^ +3 4-... = i(2-^ +1 4-2-^ +2 
+ 2 ~ 3p +*+ . . .)• 
Es sind dies beides geometrische Reihen, deren erstere so lange convergirt als p 
grösser als Eins ist, und deren zweite immer divergirt, wenn p gleich Eins oder 
grösser als Eins ist, und man hat daher den Satz: 
„Die Reihe S= x~- p 4.(^4-«)P 4-(a;4- 2«)~^-f- . . . wo p positiv ist, con 
vergirt für jedes « und «, wenn p grösser als Eins ist, sonst aber niemals.“ 
Von besonderem Interesse ist der Fall, wo p = 1 ist, man hat dann: 
S = —4 -- 1 ~ 
x «-f-« x-\-2 a 
4“ 
wie eben gezeigt wurde, divergirt diese Reihe. Diese Divergenz findet aber nicht 
statt, wenn man den einzelnen Gliedern wechselnde Vorzeichen gibt, da die Glieder 
mit wachsender Stellenzahl sich der Null nähern. Es hat also die Reihe: 
+ 
4- 
x 4-« «4-2« «4-3« 
eine ganz bestimmte Summe. 
Aber auch bei der Reihe S kann man von einer Summe sprechen. Nur dass 
dieselbe von der Anzahl der Glieder abhängt. Wir wollen uns mit der Ermitt 
lung beider Summen S und hier beschäftigen. Sei: 
so ist: 
S = — 4 4-;—-— 
(n) x x 4-« « 4- 2« 
£ <s< 1 1 1 
( n ~\-p) («) X -j- ncc « 4- (« 4- 1) « 
4- • • • + 
+ . • .+ 
X 4- (n — 1) «’ 
1 
— f —4 
Ha ( 1.4- — 1 + 
\ na 
«4-« 
4- 
1 + 
«4-2« 
x + (n + p 
1)« 
«4-(p —1)« 
14- 
). 
na na 
Der letzte Ausdruck nähert sich mit wachsendem n offenbar dem bestimmten 
Integral;