Reihe. 
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Reihe. 
/ 
d!} 
= -lg 
1 + 
x-\-pu 
H + » 
0 na 
1 4 
na 
= — lg [x + (p + n) (>■] — — lg (x -f na). 
Setzen wir noch p + n — n\ so erhalten wir für wachsendes n und n': 
V) - ilg(* + «'«) = S (n) -ilg(»+»»). 
d. h. Der Ausdruck 
nähert sich mit wachsendem n einer von n unabhängigen, also nur mit x und a 
sich ändernden Grösse. Wir wollen dieselbe hier ermitteln. Sei v irgend eine 
endliche positive ganze Zahl, so ist: 
S(,)-1 lg (* + „„) = l + + 
« x x + ß x -{-2a 
und indem wir diese Gleichung von 
1 
+ ... + 
x + (v — 1) ß 
lg(a: + va), 
/ \ 1 1 , 
«) = — + —-— + 
a;+ß x-\-2 ß 
+ ... - 
x -f (n — 1) a 
lg (x + « ß) 
abziehen, wo r/(x-{-a) die constante Grenze von S(n)—— lg(a: + nß) vorstellt, 
ergibt sich; 
1 1 
ff (x, ß) — S (v) + — lg (x + va) = 
+ ■ 
+ 
+ . . . 
x 4- va x + (v + 1) ß ■£ + (*' + 2)« 
, 1 _1_, ix + na\ 
X + (n — 1) ß ß ® Va; + v a) 
Der Logarithmus rechts nimmt aber die Form an: 
- = ig (n —) 
x + (n — 1) ß \ x + va) 
lg a; + ^ + 1 )« , Ig ^ + ( y + 2)ß A + i g x + ™ 
x + va 
x + (v + 1) ß 
1 + 
+ lg ( : 
* + 
-) + ... + lg (l+i^ 
35 + (v + l) l 
oder wenn man nach vorigem Abschnitt diese Logarithmen in Reihen entwickelt 
1_ /® + nß\_ 1 1 1 
ß ^ ve -j- v a) x + v a x -f- (v +1) a x + (n — 1) a 
2 tCc-j-i'ß) (a; + (v +1) ß) Ce -|- (n — 1) ß) J 
+¥ +C-tot)* + • • • + ivw=- ir S] + • • • 
wo zu bemerken ist, dass die in den Klammern stehenden Reihen alle, die erste 
ausgenommen, nach dem Obigen convergiren. Es ist somit: 
1) ff• (x, K ) = S{v) — — lg (x + va) + 2[x-\- (v + s) ß] 
ß 4 
— 2 
+ -g- ~ \. X + (V + S) ß] + . . . , 
wo sich die Summen auf alle Werthe von s von 0 bis ins Unendliche erstrecken. 
Nimmt man v hinreichend gross, z. B. gleich 10, so wird sich schnelle Convergenz 
ergeben. — Setzt man z. B, x — 1, a = 1, so ist: 
S(v) = ! + £ + £ + 
1 
H