Reihe. 
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Reihe. 
so dass die Glieder der vorgelegten 
Reihe kleiner als die einer als conver- 
gent bekannten, sind. 
Nehmen wir z. B, als die zur Verglei 
chung bestimmte Reihe, wieder die fol 
gende : 
1+1 + 1+.... 
2 « g « 
so muss also, damit die vorgelegte con 
vergiré , 
Cl S + l ^ / 5 < " 
a ' \s +1- 
im Falle der Convergenz, 
n 
s , u . 
< 1 d , er < 1 
a , , s 
s-f I 
im Falle der Divergenz, d, h. im erstem 
Falle 
/ 
s< 
l rt s+i 
im letzteren Falle: 
> 
und c( > 1 
sein. Umgekehrt, wenn 
a s + í Í * 
—r I und « < 1, 
a \s-f-l/ 
s 
so wird die Reihe divergiren, denn es 
sind dann die Glieder der Reihe : 
« s+ l +« s + 2 + « s + 3 + • • • 
offenbar grösser als die entsprechenden 
der Reihe: 
« a « 
(is a s a s 
s + S + * 
(* + l)“ (« + 2) K (s + 3) tt 
Da aber die letzte Reihe divergirt, so 
findet auch gleiches bei der ersteren statt. 
Die Ungleichheiten finden übrigens im 
algebraischen Sinne statt, d. h. die po 
sitiven Werthe von « sind grösser als 
die negativen gedacht. 
Den Bedingungen der Convergenz oder 
Divergenz die hierin enthalten sind, ist 
aber ein einfacherer Ausdruck zu gehen. 
Zunächst kann man dieselben umge 
stalten in : 
... 
s+l 
im Falle der Convergenz, 
s { 1 r < ff, 
K+. I 
also: 
Satz III. Eine Reihe, conver- 
girt oder divergirt, je nachdem 
i “s 1 
sich der Ausdruck: s •{ 1 !■ 
K+i J 
mit wachsendem s einer Grenze 
nähert, die algebraisch grösser 
oder kleiner als Eins ist. 
Dies Kennzeichen wird dann mit Vor- 
"s+i 
theil angewandt, wenn 
zur Grenze hat. 
Nur der Fall, wo s 
die Einheit 
Í 
I a . 
- 1 
die 
*+■ 
Einheit zur Grenze hat, entzieht sich der 
Betrachtung. Ist jedoch dieser Ausdruck 
für jedes endliche s von einem bestimm 
ten an stets kleiner als Eins, so findet 
Divergenz statt, denn es ist dann: 
> 
ec > 1 
*+l 
1’ 
a < 1 
u , 1 \ « 
-i- <(l+i), 
a s4-l ^ S 
im Falle der Divergenz. 
Den Ausdrücken rechts ist aber eine 
einfachere Form zu gehen. Es ist immer, 
wenn s grösser als Eins ist: 
und das Verhältniss zweier Glieder der 
vorgclcgten Reihe ist also grösser als 
das zweier entsprechenden, der als diver 
gent bekannten Reihe: 
1 -f- “j - • . • 
Beispiel. Untersuchen wir die Reihe: 
, | 1 | 1-3 . 1-3-5 
(^)“= 
2-3 1 2-4-5 1 2•4•6 • 7 
1 + - + 
so ist: 
wo die weggelassenen Glieder sich bis 
auf jede Grenze der Null nähern, und 
man hat also die Regeln: 
a 
s -i i « i 
>14 , « > 1 
1- 3-5 . . . (2s — 1) 
2- 4 .. . 2s(2s +1) 
a 
und der Ausdruck 
s+1 
nähert sich 
s+i 
mit wachsendem s der Einheit.