Reihe. 
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Reihe. 
Dei* Ausdruck a — wird immer abnehmen von dem Werthe an, wo 
s cc 
d 
— — 0 ist, wo also ein Maximum stattfindet. Es erfüllt diesen Werth die 
da 
Gleichung: 
1 lg ß A . . , 
2— — 0; es ist also u = e. 
a 2 a 2 ’ 
Es ist ferner: 
= *0g0 a -40«*) a . 
•'s X 
ein Ausdruck, der für f = co unendlich gross wird. Somit divergirt also die vor 
gelegte Reihe. 
Andere Regeln der Convergenz, welche auf die Theorie der bestimmten 
Integrale beruhen, müssen hier übergangen werden. 
12) Untersuchung der binomischen Reihe für den Grenzfall. 
Die binomische Reihe: 
(1 + x) n = 1 -\-riyX + n 2 x 2 + n 3 x 3 -f . . . 
convergirt für jedes x, das abgesehen vom Vorzeichen kleiner als Eins ist. Der 
Grenzfall, wo x = + 1 ist, erfordert somit eine besondere Untersuchung. 
Mau hat: 
2±i _ + ”- , + 1 = + {i- 5±1Y 
a — s r \ s / 
s 
Wir haben früher gesehen, dass die Reihe immer divergiren wird, wenn der in 
der Klammer stehende Ausdruck für jedes endliche s grösser als Eins ist, und 
da dies der Fall, wenn n +1 negativ ist, so sind nur die Werthe von n zu 
untersuchen, welche n 1 positiv machen, also die von —1 bis oo, (die Grenze 
— 1 ausgeschlossen). 
Sei jetzt x — — 1, in welchem Fall zu setzen ist: 
Vf1 =1 _« + i 
a s 
s 
Diese Formel zeigt schon, dass un d a s gleiche Vorzeichen haben, wenn 
n-f 1 kleiner als s ist, dass also alle Glieder von einem gewissen au gleichzeitig 
positiv oder negativ sind. (Im letzteren Falle sind sie dann mit entgegengesetztem 
zu nehmen), so dass das letzte Kennzeichen des vorigen Abschnittes anzuwenden 
ist. Man hat: 
s 
Die Grenze dieses Ausdruckes ist n -f 1, und damit derselbe grösser als Eins 
sei, muss n positiv sein, in welchem Falle Convergenz stattiindet. 
Sei jetzt x = -f 1, also 
so sind die Glieder abwechselnd positiv und negativ, und es ist zur Convergenz 
nur erforderlich', dass die einzelnen Glieder mit wachsendem s abnehmen und 
sich der Null nähern. Nun ist offenbar: