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Reihe
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u l — u i = Y, Ui + u 2 =ß, u L
— «i S = — (ß-yf—\iß + yf = —
2 S 2 2
ß~hy
1 , s — 2 s—\ ,
— ßyi s iß ~ g 3 ß 7
+ S sß y* + • • •)>
wo s l ,Sj.,. die entsprechenden Binomialcoefficientcn sind. Die lieiho ist selbst
verständlich eine endliche.
Setzen wir die Werthe von ß und y wieder ein, so ergibt sich hieraus:
a =~—^- Ä 3«i S_ ' («i a -4« 2 )+s 5 « l s “ G (« 1 2 _4« 2 )2_ . . .]
2
/ i\S— l
+ - [( s - 1) ff l — ( s — 1)3 «l («i-4fir a )
2 S— "
+ ( S — 1) 5 « ! S— 7 (ff ! 2 — 4« 2 ) 2 — . . .].
Besondere Erwägung muss für den Fall cintreten, dass die Gleichung 3) zwei
oder mehr gleiche Wurzel hat, in welchem Falle unser Verfahren nicht mehr das
allgemeine Integral gibt. Man kann dann ähnlich wie bei Behandlung der linearen
Differenzialgleichungen verfahren. Seien die Wurzeln und ( zunächst
gleich, so kann man diese erst sich um eine abnehmende Grösse unterscheiden
lassen und setzen:
u h+l =u h +t '’
setzt man dies in s ein, so kommt:
\P+ l
i u h +. v ) P + «i( u h + y ') 1>+ + • • • + «,
0
oder, wenn man die höheren Potenzen von v weglässt, was ja bei abnehmendem v
geschehen kann, und Gleichung 3), welche auch für u=u gilt, berücksichtigt:
V
3a)
pu V L ' + (p - 1) «' + (p - 2) « a u P h 3 + .., + «_!= 0.
h 1 vr 1 h 2 h
Man zeigt bekanntlich auch direct, dass in diesem Falle der Differenzialquotien t
der Gleichung 3) für u = « verschwindet.
Die Gleichung 4) aber gibt:
4) A^f + A^* + . . . +A h u h S + A h+ i(« A + ^) S
+ A h+2 U h+2 +
aber wenn man v sehr klein nimmt, so ist:
4- A u — a .
pp p)
s— I
(u h + v ) =zu p + su h
Also, wenn man vertauscht:
A h + A h+1 mit B h’ vA h+1 m5t B h+t’
was geschehen kann wenn man Aund A Ji _^ [ wachsen lässt, in welchem Falle
B^ und B^ ( endlich, so ergibt sich, wenn man wieder A^ und Aj^ { für
h+ l
Bund B u , . schreibt:
s— 1
4) A l u i +A^u 2 -f . . . + A h u h ^ rsA h+\ u h ^ A h+2 n h+2
4- . . . 4- A u — a .
pp p
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