Reihe. 
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Reihe. 
= 2 
■i 2 
¡J 2 s ~r 
2 -1 
Um die Coefiicienten der dritten Reihe zu entwickeln bedienen wir uns der 
Gleichung: 
1 _ 2 sin n 
cos a sin 2 ß 
oder: 
sec « = 2 sin ß cosec 2 « 
und indem wir für sec ß, sinn und cosec 2ß die Werthc cinsetzcn : 
+ . . . = 2 («“i. 2 .3 4 i.2.3-4^5 
(|^ + </ 2 • 2ß + g. t • 8ß s +.96 * 32r< 5 + . . .) 
und durch Vergleichung der Coefiicienten ergibt sich : 
,2s — 'i 
0 2s 9 2' ' g 2' 
g 2 2S — 2 2S — 4 
c 2s~ - s 1.2*3 + 1 •2 • 3•4•5 
. . .+ 
S— 1 2 
(-D 
1.2*8 ... 2s — 1 
+ 
(-!)'9o . 
1 -2-3 .. . 2s -fl' 
cs lassen sich also die Coefiicienten a, h, c leicht durch die Coefiicienten g be 
stimmen. Wir wollen dieselben jedoch noch auf andere recurrente Ausdrücke 
zurückführen, indem wir setzen: 
9) 
ß 2B 2/i., ß 2B,n 3 
— 2 - 
2“ ß 1-2 1•2•3* 4 
Da die Gleichung 2) gibt: 
so ist: 
a 2b n b~tt , A.ß 3 . 
COt 2" ~ V +_ y +__ 2~ + - • • 
1•2•3 ... 2sä, 
B n = 1 und B = - 
0 .'S 
Die Zahlen /? 0 , ß 2 , . . . heissen die Bernoulli’schen Zahlen. Sollen die Coef- 
ficienten unserer vier Reihen durch dieselben ausgedrückt werden, so erhalten wir: 
10; 
11) 
12) 
und endlich: 
2 2s ß 
/ _ 2s 
2 s~ 1 • 2-3 ... 2s 
(2 S+I -1)2 
2s 4- 1 
2S+ l 
1*2*3 ... (2s 4-2) 
i 
2(2 
l)/i 
2s 
2 2s+I I 
1) 
1-2-3 
4- 
+ 
2s 
2S 
B - 
1-2-3 ... 2s 
2 
2s-I (2 S-2 
1) 
B 
-’s 1-2-3-1-2-3. . . 2s —2 2s—2 
^25 ö ““ 3 
i) 
B 
1-2-3-4-5... 2s — 4 2s—4 
(- l) s Z? 0 2(2~ 1 — 1) 
1-2-3... 2s-4 
... 4- 
(— l) s— 1 2 3 • (2° - 1)B, 
1-2-3 ... 2s — 1 • 1 • 2