Reihe. 
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Reihe. 
oder, was dasselbe ist: 
9 2s + 1 
iSK.= 
2s 1.2*3... 2*+ 1 
l( 2s + 1) (2 S - 1 - 1) ^ - (2s + * 2s _. 2 
•+(2S+l) ä 
- 1 
2s — 4 
. . + (-!/- '(2s+ 1), 
(2° — 1) B 2 
2s—l 
,2 s - 
+ (-D 
S (2- 
—)• 
wo (2s + l),, (2s+l) 3 . . . die Binomialcoefficicnten sind. 
Das recurrente Gesetz für die Bernoullischen Zahlen nimmt mit dem für die 
Coefficientcn h verglichen die Gestalt an: 
2 " S B 
2 2s 3 B 
2 2s “ / ‘ B 
1-2-3...2s 1.2.3-1-2-3 ...2s-2 
+ 
2S— 4 
+ 
1 -2.3-4-5-1 -2-3 .. . 2s — 4 
(-l) S /?o _ (-1) S+1 
1 *2 • 3 ... 2s + i 1-2...2s’ 
wofür man auch setzen kann 
" 2s 
(2s + 1) 2 2s B — (2s + l) s 2 2s 3 
,2s— 4 
B 
*2 s- 2 + ( 2i + 1 )* 2 ' “2s— 4 
— * • • + (-1 ) s B 0 = (-l) s +' (2s-f 1). 
a 
Dasselbe Gesetz erhält aber ein einfachere Form, wenn man den Ausdruck cot 
direct ermittelt. Es ist derselbe: 
cot- 
cos — . 
2 _.,/! + cos « _ 1 -f cos « 
ct 
sm- 
und man hat die Beziehung: 
1 -j- cos 
2~ 
also wenn man für cos « und sin ß die entsprechenden Entwickelungen setzt, und 
die Coefficientcn vergleicht: 
a . /B 0 B 2 k B^n 3 \ 
- -- 8 m«(— + i72 + T72T3T4 + * * •/* 
B 
B„ 
ß 
1-2-3. ..2s 1.2-3-1-2-3...2S-2 
+ 
+ . . . + 
1 -2-3-4-5-1.2-3...2s—4 ** 
(-1 ) $ B 0 _ (-i) s+1 
1 • 2 • 3 ... 2s +1 “ 2-1-2... 2s’ 
wofür man auch schreiben kann: 
U) 2.). B 2I _ 2 + i(2.). ■ + (-1)’= i(-l )ä+ ' • 
Unsere Aufgabe reducirt sich jetzt darauf, ein independentes Gesetz für die 
Bernoullischen Zahlen zu ermitteln. Wie in dem Artikel Quantitäten (imaginäre) 
dargethan wird , lässt sich die Cotangente eines beliebigen Winkels in eine 
Reihe nach Partialbrüchen zerlegen, welche immer convergirt, und zwar hat man: 
o in — co 1 
ß 2 . _ > 
cot 77- = 4« — 
— \ 4 
Ist « kleiner als 2rr, so kann man setzen :