Reihe. 
305 
Reihe. 
Diese Formel lehrt also auch, die Bernoullischen Zahlen durch ein bestimmtes 
Integral auszudrücken. 
Der hier gegebene in Formel 15) enthaltene independente Ausdruck für die 
Bernoullischen Zahlen hat den Nachtheil, dieselben trotz dem, dass sie rational 
sind, in transcendenter Form zu gehen. 
Wir entwickeln hier nach Serret einen zweiten Ausdruck der nicht mit diesem 
Nachtheile behaftet ist. 
Die Bernoullischen Zahlen sind definirt durch die Formel: 
2 B 0 2 2 B t a 3 
n 1.2 1 • 2•3•4 
« 
cot TT- = 
2 
* 
e — e 
und cti = x, so kommt: 
e 
Man hat aber identisch: 
1 1 2 
X , X i ix , 
e +1 e —1 e —1 
und indem man beide Glieder rechts in Reihen ausdrückt, erhält man : 
1 _ 1 (2* —1 )B a x (2*—1 )B t x* 
O 1 O • 4 O Q A 
2 1-2 T i -2.3-4 
eine Reihe, die nach den allgemeinen Regeln über Potenzreihen so lange con- 
vergirt, als der Modul von x kleiner als n ist. 
Vergleicht man nun die Coefficienten der Potenzen von x mit denen, welche 
die directe Anwendung der Maclaurinschen Reihe ergibt, so erhält man: 
1 
d‘ 
Nun zeigt sich leicht, dass der Ausdruck rechts die Form hat. 
x 
e 
x 
e — 1 
, 2 n— i 
ax 
1 
■^11 A 2 ... A. i sind zu bestimmende Coefficienten. Da nun sich 
ln—1 x - i 
e + 1 
nach Gleichung 17) als ungrade Function, folglich der 2n — Ite Differenzialquo 
tient als grade Function von x ergibt, so bleibt dieser Ausdruck unverändert, 
wenn man x mit —x vertauscht. Durch diese Vertauschung aber wird der Aus 
druck rechts: 
20