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oder wenn man die mit n , (n — 1)" . . . behafteten Glieder vereinigt: 
18) 
2- n 1 (2" n — 1) Bn 
2 n 
in 2n -' --(l + i.n) (n-l)- M 
+ (1 + 2n + 4 (2n) % )(n- 2)-(l-f 2« + (2n) t 
+ K2n) s )(n-3) 2n_1 4- • • • 
Das Gesetz dieser Reihe ist völlig ersichtlich. 
14) Weitere Anwendungen der Bernoulli’schen Zahlen. 
A. Ausdruck für die Summen der Reihen ganzer Potenzen. 
In der Theorie der arithmetischen Reihe war bereits ein Ausdruck für: 
1) y («, p) = x p 4- (*4- «)P 4- (® 4- 2n) p + • • . 4- [« 4- (« — 1)«]^ 
von uns abgeleitet worden. Indess gibt es noch eine andere wichtige Summen 
formel, die nach ganzen positiven Potenzen geordnet ist. Um diese zu finden, 
definiren wir den Ausdruck y(»,p) durch die recurrcnte Gleichung: 
2) y (n, p) — y [(n - 1) p) = [« 4- (n - 1) «] P , 
welche zu verbinden ist mit 
3) y- (0, p) = 0. 
Diese beiden Gleichungen gehen für jedes positive ganze n offenbar die obige 
Summe wieder, sie definiren aber auch die Function y (n, p) für negatives ganzes n 
denn man hat: 
7 (0, p) — 7 (~ 1, p) = (x — n) P , 
7 (- 1. p) — 7 (- 2, p) = (x - 2n) p 
7 [— (n — 1), p] — 7 (- «, p) = (« — Ji «)^ 
also durch Addition mit Berücksichtigung der Gleichung 5): 
4) 7 ( — n, p) = — {x — a) p — (x — 2«)^ — . . . — (x — w«) 
oder, wenn x = 0, p grade ist: 
5) 7 (- n, p) = — 7 (m 4-1) p) + 7 (1’ P)- 
Es ist nun offenbar: 
(x + sa) P — [x4~(s —1)«]^ = pa[x4-(s— 1)«]^ 1 
4- p a «* [x -f (s — 1)«] p " 4- • • .4- ct p 
wo pi, p 2 ... wieder die Binomialcoeficienten sein sollen. 
Setzt man hier für s alle Werthe von 1 bis n und addirt die so gebildeten 
Gleichungen, so erhält man: 
6) (x 4- na) p — x p ~ peerf (w, p — 1) 4- P j «* 7 («> p — 2) 4- ■ ■ • 
4- p ' y ( n > 1) + C<P 7 ( w > 0), 
woraus sieh dann die Entwickelungen ergeben: 
7 ( M > 0) = p —— 
cc 
7 («> 1) = y — *) 
7 («, 2) = - - i(p 1 —»■) + J (y- *) 
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