Reihe.
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Reihe.
so kommt;
oder:
fx+nrt f(2
j y 0*0 dx - (Cl(f [x) + ~2 - */•' 0*0 +
1 r x+nct
2 7 W - TT./ 7 _ fTg ^7' 0*0 + - - -
also, wenn man nach und nach y mit y/, y" . , . vertauscht:
- ' 0*0 = ^ [7' (* + ««) ~ 7 (*)] ~ JT2 ** 7 ” (*) — • •
- ,ff = tt ^ (®+ _ (*)]~ jT2 7"' («)—• •
Wenn man J>f '(x), Zy" (x) hieraus eliminirt, so erhält die Eliminationsgleichung
die Form :
n x-\-na
15) 2<i(x) = J y (z)dx+A 0 [<f (x + na) + y (x)] + [y'(x +m«) - y/(®;
(*)J
+ 2 + ««) — 7" 0*0] + •
und die Coefficienten .4 0 , . . . ergehen sich;
-4 ° + j—*2 = 0, A t -f- ^^ j—2~~3 =
411 -4„
A 3 + -=—x + -z—¿7—7, + :
1-2 1 1-2-3 1 1-2-3-4
= 0 .
oder wenn man setzt:
so erhält man ,
& s + 1 = 1 -2-3...( S + 2).l s
s+l
+ ^i±2) b + (s + 2 );*. b
2 3 s—1
+ ■—b 0 + • • • + (s + 2)6 l + l = 0;
42
für s = 0 ergibt sich 6, = — also:
_A 1 + i (i±l) 1 Ä (A+Jh
s _|_2 - + 2 2 + 3 3
+ . . . = 0,
eine Gleichung, die der mit Ä bezeichneten in diesem Abschnitte identisch ist,
und aus der sich also die nämlichen Schlüsse ziehen lassen, da diese Gleichung
zur Bestimmung der b ausreicht. Es sind also wie dort die b mit ungraden
Indices der Null gleich, und die mit graden Indices und abwechselnd negativen
Vorzeichen die Bernoullischen Zahlen. Man hat also :
1 px-\-nn
16) Z y (x) = — / (f(x)dx — \ {y (x + na) — y (x))
a *■' x
+ J72 ß W( x + MK ) “ 7'0*0) + 1.2^3 - 4 ft3 ^ /# ^* + WK ) ~ 7'"0*0) + • ■ ♦
Diese Formel heisst die Euler’sche. Ihrer Anwendbarkeit steht aber so lange ein
Bedenken entgegen, als man den Rest der Reihe rechts nicht bestimmt, da die
Convergenz dieser Reihe durchaus nicht allgemein stattfindet, und im Uebrigen auch,
wie wir sehen werden, die Anwendbarkeit der Formel selbst im Falle der Diver
genz nicht völlig ausgeschlossen ist. Wir bedienen uns somit zur Bestimmung
des Restes einer von Poisson herrührenden Methode. Es ist; (siehe die Theorie
der Fourrier’schen Reihen ira Artikel: imaginäre Quantität.)