Reihe. 
316 
Reihe. 
auf solche allein. Um demgemäss die Formel f) auf Brüche zu erweitern, nehmen 
wir die bekannte: 
1 
m 4- 1. 
(Es ist diese Formel 12 in Abschnitt 50 des Artikels: Quadratur, und daselbst 
allgemein abgeleitet.) 
Dass diese Formel mit f) identisch ist, zeigt sich folgendermaassen. Differen- 
ziirt man beide Formeln zweimal, so kommt: 
m = co 
d* lg r(a:+ 1) 
itl — o (® + ,n +1) 2 ’ 
dx 1 
von welcher von beiden man auch ausgeht. Es haben also beide Ausdrücke 
denselben zweiten Differenzialquotientcn und könnten sich daher nur um eine 
lineare Function von x unterscheiden. Letzteres aber ist unmöglich, da sie für 
alle ganzen und positiven x übereinstimmen. Es gilt somit auch für den Ausdruck: 
die Formel e) ganz allgemein, da diese sich wieder aus f) ergibt. Wir wollen 
aber den sich aus ihr ergebenden Werth von lg ff (x) in ein bestimmtes Integral 
verwandeln. Es ist; 
d lg , f (x) 
dx 
m — go 
[lg (l + 
x + m. 
1 
x-\-m. 
d 1 lg >f (x) 
dx x 2x* 
m — u j 
2x * + m = 0 (* + w ) 2 
und da man hat: 
1 
e 
m — 0 
Indem man zweimal integrirt und berücksichtigt, dass lg <f (x) und 
x = co verschwinden, ergibt sich: 
li-ggfr? für 
dx 
g) 
In die bereits im Abschnitt 13) angewandte Formel : 
wollen wir jetzt cd für « setzen, wo man dann hat; 
« « 
cot — = '1 
¿i