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Reihe 
320 
Reihe. 
lg R ]x < 0,594844 — 1 + * • (0,3942481 - 3) — \ lg 
also schon für a? = l: lgß s < 0,9890775 — 4 und somit der Fehler kleiner als 
Für x - 10 ist bereits lgß 30 < 0,047175 — 27. Man kann also eine 
Annäherung auf 30 Decimalstellen erreichen. 
Differenziirt man die Stirling’sche Reihe, so erhält inan ebenfalls halbcon- 
vergente Reihen. Zu dem Ende bemerken wir, dass in Formel i) die Grässe e 
unter dem letzten Integralzeichen von x unabhängig ist. ^maliges Differenziiren 
gibt also: 
(-1/* /lg,/W = i* e- ax x‘ u d tt - ... 
dx‘ U X ' 2J 0 
+ (- if 
—axu + 2n—2 
d a 
71 ß f* ^ 
+ (_1) !i±l / + 
- V ’ 1.2 ... (2« + 2) •/ o 
woraus dann folgt: 
/ -wfx d“ lg <4 («) _ u + 1) 1 _ ß r C M + 3 ) 1 x 
(_1) u + 1 ** r( 5) ^+3 + *-- 
dx^ 
(5) Xi u+B 
, rfc + 2« —1) 1 
+ ^ ' 2» r(2» + l) ^« + 2/1—1 
r(,a + 2« - 1) 1 
+ C—1) M 
2/1+2 r(2n + 3) ^M + 2n+-l 
wo & zwischen Null und Eins liegt. lieber den Fehler gilt Gleiches wie bei der 
Stirlingschen Reihe. So hat man für = 1 : 
- _JLl — 4--L — — | ( 1 | 
O nt* 2, A r 4 N ' aa 9 <w 
2 ar” 
4 a; 
n 2n 
ß 
+ (_1)»+V 2 ” +2 
2« + 2 2W+2* 
Durch jU maliges Differenziiren der Gleichung f) ergibt sich : 
(_ iy u d^lgrjx + 1) _ r(,M—1) _ r(p) _j_ / !g 7 00 
a;^ 1 2x^ dx^ 
wo der Werth von -—^ ^ ^ sich aus 1) ergibt. Für u = 1 ist, z. B.: 
dxf* 
m) 
dlgrOc + l) _ , 1 dig//.{*) 
“ ig * + 2^ + ’ 
dr 
also : 
dlgr(* + l) 1 B 2 1_ 
da, g + 2* 2 »» + 
und allgemein: 
+(-1) 
+ (-X)" +1 9 2 ” +2 
2«+2 2w+2 
n)