Reihe. 
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Reihe. 
wo jedem Werthe der Potenz ein andres s entspricht, und s alle Werthe von 0 
bis q — 1 annimmt. — Sei jetzt cos# positiv, so hat der Ausdruck links einen 
positiven und reellen Werth, den wir mit X bezeichnen. 
Was den Ausdruck rechts anbetrifft, so kann man für denselben schreiben: 
P 
P 
V 
<1 Cg«» + e ~ xi ) q = [ e (« + 2s ^)» + e (-« + 2S77)i- ] q 
- j-e(*+ 2 *»)» {+e -(*+* sn)i^q, 
so dass man hat: 
(2 cos x) V — <f (x -|-2stt) + * (¿c 4-2stt). 
Es ist also allgemein: 
X(cos —-ff i sin ^ 5 71 ^ = [<f (■») + i Xp(#)] (cos — 2sn + i sin — 2sti^ 
= ff (# + 2sn) + 2sn). 
a) 
h) 
p 
da jeder Werth von (2 cos x) ^ sich auf die Form des Ausdruckes links 
bringen lässt, s und s' sind aus der Zahlenreihe von 0 bis q — 1 entnommen. 
P_ 
Setzt man in die vorige Gleichung x = 0, so kommt: X 0 = 2 ^ , und es wird in 
P_ 
Formel a) y (0) = 2 ^ , y/(0)=l; damit also beide Seiten der Gleichung über 
einstimmen, ist s = s' zu nehmen, und somit hat man wegen des Ausdruckes b): 
X (cos — 2 s n + i sin-j- 2 s = y (x -f 2 s n) ff- i xp {x 4- 2s n). 
Hieraus ergibt sich: 
y (#) = X, xp (x) = 0 
für s = 0, und diese Ausdrücke gelten, so lange x zwischen —und + ~ liegt, 
2 2 
da in diesen Fällen cos x continuirlich und positiv bleibt. Die letztere Bedin 
gung aber war bei der ganzen Entwickelung vorausgesetzt. Allgemein hat man 
für x zwischen — ~ und + aber: 
I) y,(# + 2sn) = Xcos — 2stt, ^/(#-|-2s7i) = Xsin ^-2sn. 
Sei jetzt cos (#) negativ, und liege x zwischen — und — und sei jetzt X der 
P_ 
reelle und positive Werth von (—2cos#)^ , so ist: 
P_ P_ 
(2 cos x) q = (- 1) q X = X (cos (2s' + 1) n + sin (2s' +1) n 
Statt der Gleichung a) erhält man dann: 
^ (cos — (2s' —|— 1) Ti —i sin -y- (2s' -f- 1)71^ — ff (# + 2s ri) -j- i xp(x + 2su) 
= [</>(«) + *’/' («)] ( cos 2s7i + i sin — 2 
für # = 7i aber kommt: 
21 *