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Reihe. 
den, so lange der Modul von t kleiner als R ist, und in diesem Umfange kann 
z nach ganzen positiven Potenzen von s entwickelt werden. Es ist nun: 
- 2 ° +i Uf)+iT2 
+ 
Sei ferner F{z) eine continuirliche Function von 2, so hat man: 
+ • • •. 
4) 
5) 
das Zeichen 0 bei dem Differenzialquotienten zeigt an, dass nach der Differenziation 
t — 0 gesetzt werden soll. 
Berechnen wir jetzt, nachdem die Grenzen der Gültigkeit unserer Entwicke 
lung festgestellt sind, die Coefficienten der Potenzen von t. 
Wir betrachten jetzt x als variabel und differenziiren Gleichung 1) zuerst 
nach i dann nach x: 
dx 
hieraus folgt: 
o z 
d t 
«‘>1£■ 
also, wenn dz das vollständige Differenzial ist: 
dz 
6) 
7) 
dz - ^ {dx + f{z)dt), 
und: 
dz 
V (®) lh = <f (2) ^ (dx + f(z) dt), 
unction von 2 ist. Durch Yer 
:hält man: 
a (» ,w s) 
wo (f (2) eine beliebige Function von 2 ist. Durch Vergleichung der mit dx und 
dt multiplicirten Theile erhält man: 
d t 
dx 
8) 
(Es ist rechts erst nach t dann nach x, links erst nach x, dann nach t differen- 
ziirt.) Oder wenn wir n — 2 mal nach t differenziiren : 
. 11— 1 
d t 
n— l 
dx 
d l 
n— 2 
Die Formel 8) aber zeigt, dass jede auf t bezügliche Differenziation rechts durch 
eine auf x bezügliche ersetzt werden kann, vorausgesetzt, dass man einen Factor 
f(z) hinzufügt. Man hat also: 
1 
G w sr) 
dt 
n— 1 
dx 
T (l/Wl 
n—I ,. dz 
'/« ä - 
)• 
Sei jetzt ff (z) — f (z) F' (z), so gibt Gleichung 7): 
,.d z dF(z) 
und also: 
= ( m TF.«?•). 
di» d»"-*' dx ’ 
Für t — 0 hat man nun 2 0 —x, F(z 0 ) = F(x) und wegen Gleichung 6)1 
9)