Reihe, 
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Reihe. 
also : 
( i ii e ).= F '«G i 9.=№)*■>)• 
So erhält man aus Formel 5): 
H») = tfi*)F'i*)+^ ~ ([/Ml 1 P'(»)) + • 
.«—i 
+ 
r 
1 • 2 . .. n n x n— 1 
und wenn man z für F(z) nimmt: 
1* d t n 
* = *+ */’(■*•') +-JT2 ¿7 E/’( a; )] 2 + • • • + JT2 
(C/X*)]*"(*)) + 
[/MT + 
10) 
ll) 
Die Formel 11) ist die Lagrange’sche Umkehrungsformel. Da f(z) continuirlich 
ist, also für diese Grösse eine nach ganzen positiven Potenzen von t fortschrei 
tende Reihe gesetzt werden kann, und sie umgekehrt lehrt, z und F(z) nach 
ganzen positiven Potenzen von t zu entwickeln, was eben als Umkehrung der 
Reihen bezeichnet zu werden pflegt. 
Beispiele. Sei 
z — x-j- tz m . 
Die Gleichung 3) wird dann: 
2 = x + 
also z — 
711 — 1 
und Gleichung 2) gibt: 
(m — 1) 
m— 1 
Die Entwickelung wird also so lange gelten, als der Modul von Eins kleiner als 
/ . \ 77h 1 
' abgesehen vom Vorzeichen ist. Formel 11) gibt: 
1 • u O 
+ 
J t* + • • • 
(nm) n _ t ^ nin - n +1 M 
r" + 
Mittels dieser Formel gelingt also die Auflösung der Gleichungen von der Form 
z m Az = B, wenn man f — —x — ~ setzt, jedoch nur bis zur einer ge- 
A A 
wissen Grenze für -i- und für einen vollständig charakterisirten Wurzelwerth, 
A 
Setzen Avir ferner in Gleichung 11) F' (z) = z m , f(z) = z — 1, wo dann Glei 
chung 1) gibt: 
_ X — t <5 z _ 1 
~ — 1 — t ’ dx~ 1 — t 
und aus Gleichung 11) erhält man durch Diffcrenziiren nach x: 
rwi-!= * 
dx n=o 1 • 3 • • • Ä d»’ 
— (F'(i) [/»]”) 
also: