Reihe. 
328 
(x-t) 
«=o *•-•••» a*« 
Wir bemerken noch, dass dem Lagrange’schen Satze eine Ausdehnung auf Func 
tionen zweier Variablen durch La Place und Jacobi gegeben ist. 
Eine der bekanntesten Anwendungen des Lagrange’schen Satzes ist übrigens 
die Auflösung der Kepler’sehen Gleichung in der theorischen Astronomie. 
17) Summirung der Reihen. 
A. Elementare Methoden. 
Mil Bezug auf Summirung der Reihen machen wir auf die bei den recurrenten 
Reihen benutzte Methode nochmals aufmerksam. 
Eine oft anwendbare Methode ist auch die,owelche bei Summirung der Reihen 
von Binomialquotienten: 
,-n 1-2.. 
Reihe. 
[x m (x-l) n ]. 
1 p +2 p +a p + - 
+ («-!). 
'p ' (p+ 0 
hier benutzt worden ist. Diese Methode lässt sich allgemein so geben; 
Wenn sich ein Ausdruck auf die Form bringen lässt: 
)~ ß s = A s' 
so hat man, wenn für s alle Zahlen von « bis n — 1 gesetzt werden: 
B u+‘l B n+l 
: A . ...B 
a 4“l w 
B n- 1 ~ A n-I 
und durch Addition aller dieser Gleichungen: 
A +A . ,+A -A , , — B 
a 1 ß+l ß-|-2 r ß-f-n—1 ß + M 
die Reihe links ist also summirbar. 
Beispiel. Es ist: 
x {x -f- Ii) (x + 2h) . . , \x -f- {in — 1) h] — (x — h) x (x -f- h) . . . [x + (m — 2) A] 
= x (x -f- h) . . . (x -j- m — 2 h) rn h. 
Also wenn man x{x + h) . . . [_x -f-(m — 1) A] =zf(x,m) setzt, so ist: 
f(a, m — 1) +f(ce + h, m — 1) + • • • + / ? [« + (« — l)h, m — 1] 
— if(. a + i n ~ 1) K m ) — f{ n — h, m)] -—7. 
m h 
Aus dieser Reihe ergibt sich wieder der Ausdruck für die Binomialcoefficienten, 
wenn man h— 1 setzt, und durch 1 • 2 . . . m — 1 dividirt. 
Es ist ferner: 
1 1 
x (x -f- h) {x + 2 h) . , . [# + (”*— 1) A] (x — h)x . . . [x-f-(m — 2)A] 
= , 1 { 1 Li 
\x -f- (m — 1) h